теорема о неподвижной точке сжимающего отображения (К-Ф)

[mi.d]

Пусть $K$ - компактное метрическое пространство, $A$ - такое отображение $K$ в себя, что $\rho(Ax,Ay)<\rho(x,y)$ при $x \ne y$. Нужно показать, что $A$ имеет в $K$ единственную неподвижную точку.

С единственностью всё элементарно.
Для док-ва существования рассматриваю непрерывный функционал $f(x) = \rho(x,Ax)$. В этом случае можно с уверенностью говорить, что $f$ ограничена и достигает верхней и нижней грани. Таким образом, нужно показать, что нижняя грань равна нулю, а этого сделать у меня как раз не получается.

PS задачка из КФ

[Circiter]

(Оффтоп)

Можно списать доказательство, например, из wiki/Banach_fixed_point_theorem. :) Правда, я не знаю не помешает ли этому требование именно компактности, а не просто полноты как в обычной формулировке теоремы Банаха о непожвижной точке... Но можно глянуть на доказательство теоремы Брауэра: wiki/Brouwer_fixed_point_theorem.

[Padawan]

Если точная нижняя грань достигается на элементе $x_0$ и $x_0\neq Ax_0$, то $f(Ax_0)<f(x_0)$, противоречие.