Логика. 2 вопроса

[samuil]

1) Чем отличаются записи $A\land B$ и $A\cap B$

2) Что означает вот это? $\urcorner A\cap B\cap C$

У меня есть 2 варианта.

а) Пересечь множества $A$,$B$ и $C$. Так как $\urcorner $ отрицание, то в ответе будет множество всех элементов, кроме тех, которые образованы пересечением $A\cap B\cap C$

б) $\urcorner A$ - это множество элеметнов не принадлежащих $A$. Обозначим его $D$. Теперь нужно пересечь $D\cap B\cap C$

[arseniiv]

$A\land B$ — это конъюнкция («логическое и»), а $A\cap B$ — объединение множеств. Первая ко множествам не применяется, хотя у этих операций много общего.

2 — б, так как приоритет дополнения больше, чем объединения. Только дополнение [множества] обозначается $\bar A$, а $\neg A$ — это отрицание, логическое, ко множествам, как и $\wedge$, не применимое.

[samuil]

arseniiv в сообщении #487830 писал(а):

$A\land B$ — это конъюнкция («логическое и»), а $A\cap B$ — объединение множеств. Первая ко множествам не применяется, хотя у этих операций много общего.

2 — б, так как приоритет дополнения больше, чем объединения. Только дополнение [множества] обозначается $\bar A$, а $\neg A$ — это отрицание, логическое, ко множествам, как и $\wedge$, не применимое.

Спасибо !!!!

Цитата:

$\neg A$ — это отрицание, логическое, ко множествам, как и $\wedge$, не применимое.

, а это точно?

А если ко множествам не применимо, то к чему применимо?

[arseniiv]

Ну, может, у кого-то редкого оно и используется как дополнение, но традиции такой нет. А применимо к логическим значениям. К примеру, к высказываниям в алгебре высказываний, предикатам в алгебре предикатов, разным «логическим» выражениям в них обоих (в алгебре предикатов могут быть ещё и выражения из термов, которые могут входить только в предикаты).

[JMH]

Как известно, "любую вещь можно назвать трамваем, если об этом договориться" (C), но лучше бы держаться общепринятых обозначений и не путать логические операции с операциями на множествах. Тот факт, что между ними много общего, как раз говорить в пользу того, чтобы чётко разделять понятия.

samuil в сообщении #487842 писал(а):

А если ко множествам не применимо, то к чему применимо?

К логическим конструкциям - термам, выржениям.

[arseniiv]

JMH в сообщении #487850 писал(а):

термам

Да, и что угодно можно назвать термом, так что уточню, что имел в виду те термы, которые состоят из предметных переменных и функций от таких термов (в частности, констант).

[samuil]

Ясно, спасибо=)

[Circiter]

Очень тесная связь: $A{\color{blue}\cup}B\equiv\{x\colon(x\in A){\color{blue}\lor}(x\in B)\}$, $A{\color{blue}\cap}B\equiv\{x\colon(x\in A){\color{blue}\land}(x\in B)\}$. Похожие значки, не правда ли? Обратная зависимость хорошо демонстрируется кругами Эйлера.

Более того, на множествах можно вводить структуру решетки (вместе со свойствами отрицания; т.е. надо сразу говорить о булевой алгебре :) ), да так, что теор-множественные операции можно будет абсолютно законно называть конъюнкция/дизъюнкция/отрицание...

(2arseniiv)

arseniiv писал(а):

$A\cap B$ — объединение множеств.

Ай-яй-яй. Кстати, я запоминал $\bigcup$ как первую букву слова Union; конъюнкцию -- как логический смысл объединения + угловатость. Вот сейчас все время путаюсь в $\TeX$'е между \cap и \cup; тоже надо какую-нибудь мнемонику придумать :)

[venco]

arseniiv в сообщении #487830 писал(а):

Только дополнение [множества] обозначается $\bar A$, а $\neg A$ — это отрицание, логическое, ко множествам, как и $\wedge$, не применимое.

А я не раз видел $\bar A$ в логических выражениях.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Circiter

\cAp — $\cap$;
\cUp — $\cup$.

[AD]

(Оффтоп)

Circiter
cap - англ. "кепка"
cup - англ. "чашка"

[arseniiv]

(Оффтоп)

Circiter в сообщении #487901 писал(а):

Ай-яй-яй.

Ой. И ведь думал, что имею в виду пересечение! Надеюсь, samuil
не запутается после этого в знаках…

[samuil]

Запутался=) А почему в выражении $A{\color{blue}\cup}B\equiv\{x\colon(x\in A){\color{blue}\lor}(x\in B)\}$, Внутри $(x\in A){\color{blue}\lor}(x\in B)$, а не $(x\in A){\color{blue}\cup}(x\in B)$ ? Разве $x$ - не множество? Элемент $x$ может быть подмножеством множества $A$?

[Circiter]

Видите там принадлежность $\in$, а не включенность $\subset$? Т.е. $x$ -- это элемент.

Ну вот как определяется объединение? Это множество таких элементов, что они принадлежат или первому ИЛИ второму множеству (т.е. хотя-бы одному, но могут и обоим сразу). Видите, союз ИЛИ aka дизъюнкция. Аналогично для пересечения -- это множество элементов, таких, что они принадлежат одновременно и первому И второму множеству.

[samuil]

Circiter в сообщении #490900 писал(а):

Видите там принадлежность $\in$, а не включенность $\subset$? Т.е. $x$ -- это элемент.

Ну вот как определяется объединение? Это множество таких элементов, что они принадлежат или первому ИЛИ второму множеству (т.е. хотя-бы одному, но могут и обоим сразу). Видите, союз ИЛИ aka дизъюнкция. Аналогично для пересечения -- это множество элементов, таких, что они принадлежат одновременно и первому И второму множеству.

Ок, ясно, спасибо!