Квантовая механика и стационарные состояния.

[Mitrandir]

Задача: частица с Е<0 движется в потенциале $U=\inf$ (x<0), U=-U_0 (x \in [0, a]), U=0 (x>a), необходимо найти собственные функции и число собственных значений.
Решение( я так пытаюсь решить):
1. Разделить пространство на 3 области
2. Решить стационарное уравнение Шредингера для каждой из областей
3. Используя граничные условия сшить решения в каждой из областей
4. в процессе сшивания мы должны получить собственные значения (решения уравнения $\tg(k\cdot x)=-k/w$, где $k=((U_0+E)\cdot 2\cdot m/h^2)^{1/2}$ и $w=((E)\cdot 2\cdot m/h^2)^{1/2}$
5. Предположив, что предыдущие шаги верны напишем волновые функции $\Psi=A\cdot\sin(\lambda_n\cdot x/a)\cdot\Theta(x)\Theta(x-a)+A\cdot\sin(\lambda_n)/\exp(-w\cdota a)\cdot\exp(-w\cdotx x)\cdot\Theta(x)$, где $\lambda_n$ - решения трансцендентного уравнения $\tg(k\cdot x)=-k/w$
6. А проблема моя заключается в том, что если эта функция верна у нее совершенно ужасная нормировочная константа. Правильно ли я решаю?
7. Судя по ответу, который я нашел в задачнике число связанных состояний системы $\sqrt{2mU_0a^2/h^2}/\pi<N<\sqrt{2mU_0a^2/h^2}+1/2$ мне неизвестно откуда появилось $\pi$ да и вообще это точно не решение этого $\tg(k\cdot x)=-k/w$ уравнения, хотя бы потому что решения в прямую мы не находим
Коэффициент мне не нравится так же потому, что надо еще посчитать $<x>,<p>$, а он очень большой (страшный) и вещественный!!! хоть коэффициент всего лишь перепишем

[ewert]

Детали не проверял, но принцип -- совершенно верен (разве что с тетами там явная путаница, и с уравнением на собственные числа тоже, но выглядит похоже). А константа -- уж какая есть, мы ведь и выписываем-то её лишь для проформы. Гораздо противнее, что уравнение на с.ч. оказывается трансцедентным.

[Mitrandir]

А почему с $\Theta$ путаница? я надеялся что записал решение в области ямы, и в области после ямы в одну формулу.

[ewert]

Потому что надо $\Theta(x)\Theta(a-x)\ ... \Theta(x-a).$

[Mitrandir]

Да, с $\Theta$ ошибся, но получается что ступенька из точки а вниз это $\Theta(a-x)$ ??? Функция конечно нечетная, но я думал что это будет 0 начиная с а

[Taus]

Лучше заменить ступеньки на индикаторы множества, например $\mathbf{1}_{[0;a]}$, получится логичнее и проще для восприятия. (вики)
По поводу количества связанных состояний, нужно причесать уравнение (т.е. привести к нормальному виду для графического решения). Соответственно одна из частей будет содержать параметр, от которого будет зависеть число корней вашего уравнения.