Z2 x Z3 = Z6

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #490669 писал(а):

Лично мне было бы гораздо ближе поискать подгруппы $H$ и $K$, чтобы $H\cong K \cong \mathbb Z_2$, $HK=D_4$, $H\cap K = \{e\}$.

Надо чтобы $H \cong \mathbb{Z}_2$, $K \cong \mathbb{Z}_2$ и обе подгруппы были нормальными. Если короткая точная расщепляется слева, то $H$ и $K$ - в точности ядра морфизмов из $D_4$.

[spyphy]

Joker_vD в сообщении #490669 писал(а):

P.S. spyphy, советую использовать "\mathbb" для символов натуральных/целых/рациональных и т.д. чисел. Видите ли, например, в теории колец $R$ является довольно стандартным обозначением любого кольца.

$\mathbb{Z}$ и т.д. используют преимущественно для полей. В многих попавшихся мне учебников по теории групп кольцо вычетов обозначают $Z_n$ - Кострикин, Богопольский (к тому же так быстрее набирать).

p.s. Вообще в задачнике Белоногово оказалось даже хитрее. Там $\mathbb{Z}_n$ обозначает кольцо вычетов. А $Z_n$ - комплесные корни степени $n$ из 1 (в этих задачках как раз они и были, но я считал что это вычеты, или точнее аддитивная группа кольца вычетов, вообще лучше забыть про вычеты пока, т.к. они здесь не в тему, и понимать $Z_n$ просто как циклическую группу).

[spyphy]

Всё, я понял. Здесь даже гораздо проще, изоморфизм имеет вид
$ \phi: Z_2 \times Z_2 \to D_4, ~ \phi (a,b)=(a,b) $ :)
где $ Z_2 = \{1,-1\} $, а $D_4=D(Z_2)=\{(a,\epsilon), a \in Z_2, \epsilon \in \{1,-1\} \} с операцией (a_1, \epsilon_1) * (a_2, \epsilon_2) = (a_1 a_2^{\epsilon_1}, \epsilon_1 \epsilon_2) (теперь в мультипликативной записи).
А получается это просто в силу того, что $ a_2^{\epsilon_1} = a_2 $, так как $(-1)^1=-1$ и $(-1)^{-1}=-1$ и т.д.