На всякий случай (для однозначности трактовки) сначала напишу определения. Назовём бесконечно дифференцируемую на всех оси функцию

быстро убывающей, если для любых

функция

ограничена.
Пусть

- множество бесконечно дифференцируемых на

быстро убывающих функций. (

часто называют пространством Шварца). Введём в

систему преднорм: если

, то положим

, где

. Эта система преднорм порождает в

некоторую топологию, которую мы обозначим

. Пространство сопряжённое к

называется пространством обобщённых функций умеренного роста.
Требуется доказать следующий факт: функция

, где функция

,

является обобщённой функцией умеренного роста тогда и только тогда, когда функция

имеет степенной рост, т. е. существуют

и

такие, что

.
В одну сторону утверждение довольно очевидно. Если функция

имеет степенной рост, то функция

(где

из определения степенного роста) интегрируема на

. Отсюда

Отсюда ясно, что

является обобщённой функцией умеренного роста.
В обратную сторону доказать не удаётся. Подскажите какие-нибудь идеи, пожалуйста.