Разноцветные шарики, раскладка по лузам [Комбинаторика]

[Whitaker]

Сколькими способами можно расположить в $9$ лузах $7$ белых и $2$ черных шара? (Часть луз может быть пустой, а лузы считаются различными)

Я попробовал так: Так как у нас всего $9$ луз, то между ними можно поставить $8$ "разделителей".
Нам остается посчитать количество различных перестановок с повторениями $8$ разделителей, $7$ белых и $2$ черных шарика. Искомая величина равна $P(8,7,2)$.
Но получилось, что мой ответ неверный. Скажите пожалуйста где у меня ошибка?

С уважением, Whitaker.

[arseniiv]

Я тоже почему-то не вижу, где ошибка.

[Whitaker]

Ответ в книге такой $C_{15}^{8}C_{10}^{8}$

[arseniiv]

[Странное различие выходит. Книга даёт ответ, отличающийся множителями $9 \cdot 10$, а у нас получился ответ с $16 \cdot 17$. Неспроста так мало отличаются.] Они там никаких дополнительных замечаний к задачам на другой странице не писали?

[Whitaker]

Уважаемый arseniiv ничего нет больше! Я полностью написал формулировку задачи. Вроде в решении, которое я написал ошибок я не вижу. Был бы рад если кто-нибудь поделился соображениями.

[arseniiv]

Кажется, я понял. В модели со строкой из разделителей и шариков в лузах получается упорядоченный набор шариков (одни ведь в строке левее других между разделителями), в то время как, наверно, логичнее там иметь неупорядоченный.

UPD. И ответ стал понятен! Делаем так же с разделителями, но отдельно для каждого вида шариков. А потом перемножаем за счёт того, что расположение белых никак не влияет на расположение чёрных!

[Whitaker]

Извините, но я Вас не понял arseniiv

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да я сам себя еле понимаю, тем более что задачу хоть смог решить (редко удаётся).

Т. к. шариков можно в лузы разложить сколь угодно много и как угодно, положим сначала белые. Для этого сделаем ровно как делали вы: составим строки из 8 разделителей и 7 белых шаров. Посчитаем, сколько способов составления таких вещей. Потом уже положим чёрные шары. Можно при этом считать, что белых шаров в лузах уже нет. Получим количество для расстановок чёрных шаров. А теперь, т. к. мы делали этио последовательно, перемножим числа, как раз и получается ответ.

[Whitaker]

Ну да понял.
А почему мое решение не подходит?
Ведь там точно также.

[arseniiv]

(Опять я слишком долго писал. Удалил щас половину ответа, которая говорила про верное решение. Оставил только про неверное.)

Неправильность первого способа состоит в том, что каждая луза содержит именно сочетание, а не размещение шаров, а то, что у нас получается между разделителями — как раз размещения. Т. е., допустим, в первую лузу попало два чёрных шара и один белый. Тогда начало строки может выглядеть так: ЧЧБ|…, или так: ЧЬЧ|…, или вот так: БЧЧ|…, в то время как в реальности шары в лузе размещаются как попало, и если мы их там руками повращаем, они изменят порядок, т. е. все эти начала строки эквивалентны. Т. е. в нашем решении получается заведомо большее число за счёт различения порядка шаров, который в задаче не учитывается.

-- Пт окт 07, 2011 20:09:27 --

Я два слова перепутал, сейчас исправил. Надеюсь, вас не ввело в заблуждение.

[Whitaker]

Я Вас понял arseniiv!
Вы объяснили очень четко и доходчиво!

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я польщён. У меня нечасто это получается.

[Whitaker]

Спасибо Вам большое

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ой да ладно. Я совершенно нечайно понял, в чём дело и как решать.