Равномерное распределение лучей из центра сферы

[ИСН]

Спирали? Какой такой спирали? А как Вы обеспечите, чтобы её витки хорошо накладывались друг на друга... нет, ну попробуйте, но у меня хреновый прогноз.

[INGELRII]

Может, я жестоко заблуждаюсь, но вы вроде как пытаетесь задать равномерную сетку на поверхности сферы, так? Я всю жизнь думал, что это возможно только для поверхностей, которые можно распрямить в плоский прямоугольник, с конечным числом разрезов и без искривлений при этом. Ну там цилиндр, тор в четырехмерном пространстве, бутылка Клейна там же. Сфера же никоим образом распластана на плоскости быть не может. Значит, не судьба.

Идея со спиралью хороша лишь на первый взгляд. Попробуйте реализовать ее сперва на круге, прежде чем браться за полусферу. Сразу увидите, что возле центра вылезут неустранимые косяки.

[b099ard]

INGELRII в сообщении #490035 писал(а):

Может, я жестоко заблуждаюсь, но вы вроде как пытаетесь задать равномерную сетку на поверхности сферы, так?

Равномерную сетку из треугольников предлагает создать ИСН

INGELRII в сообщении #490035 писал(а):

Я всю жизнь думал, что это возможно только для поверхностей,

Все правильно вы думали.

INGELRII в сообщении #490035 писал(а):

которые можно распрямить в плоский прямоугольник,

Если из сферы сделать плоскость получится не совсем прямоуголник, но плоский.
Получится что то вроде волны в классическом ее изображении:
/\/\/\/\/\
\/\/\/\/\/

INGELRII в сообщении #490035 писал(а):

с конечным числом разрезов и без искривлений при этом. Ну там цилиндр, тор в четырехмерном пространстве, бутылка Клейна там же. Сфера же никоим образом распластана на плоскости быть не может.

Рисунок выше.

INGELRII в сообщении #490035 писал(а):

Значит, не судьба.

Идея со спиралью хороша лишь на первый взгляд. Попробуйте реализовать ее сперва на круге, прежде чем браться за полусферу. Сразу увидите, что возле центра вылезут неустранимые косяки.

Как я написал ниже в посте этот "косяк" исправит наклон оси спирали к оси сферы.
А некоторые вещи все таки проще делать сразу в 3д, а не в проекции. Это как раз тот случай.

-- Чт окт 06, 2011 16:01:55 --

ИСН в сообщении #490014 писал(а):

Спирали? Какой такой спирали? А как Вы обеспечите, чтобы её витки хорошо накладывались друг на друга... нет, ну попробуйте, но у меня хреновый прогноз.

Я как раз гуглю ответ на этот вопрос.

-- Чт окт 06, 2011 16:20:30 --

Может кого натолкнет на мысль еще аналогия с углом гибридизации в атомах. Только максимальный угол у атомов 109 градусов 28 минут - sp3 гибридизация. Я хочу вычислять углы для spN гибридизации, где N >> 3, в природе таких молекул нет.

[INGELRII]

b099ard в сообщении #490038 писал(а):

Если из сферы сделать плоскость получится не совсем прямоуголник, но плоский.

Милсдарь, вы меня пугаете. Я вроде четко сказал: без искривлений. То есть геодезические на сфере (дуги больших окружностей) должны преходить в отрезки прямых, углы должны сохраняться. Сие невозможно:

Возьмем для примера и пересечем сферу тремя перпендикулярными плоскостями. Они разделят ее на восемь равных треугольников. Выберем любой из них. Он равносторонний, и углы у него равно 90 градусов. Отображаем его вашим волшебным отображением на плоскость. По идее, у нас получается равносторонний треугольник. С углами 90 градусов. На плоскости. Подаем заявку на премию Филдса!

Ни один даже очень маленький кусочек сферы нельзя распрямитьна плоскость. Никак. Сам был в шоке, когда узнал.

b099ard в сообщении #490038 писал(а):

Как я написал ниже в посте этот "косяк" исправит наклон оси спирали к оси сферы.

То, что вы собираетесь строить, будет очень близко к спирали Архимеда. Или как там ее, ну, кривая, в полярных координатах записывающаяся как $r=a \varphi$. Если ее приближать последовательностью точек, расстояние между которыми будет равно расстоянию между витками (а вам ведь именно так надо), то как раз перед центром придется сделать очень некрасивый отскок от истинного направления. В результате вблизи центра неизменно образуется область, где по-хорошему должна бы быть точка - но ее нет.

Дома постараюсь сделать рисунок. Это пояснит мысль куда лучше тысячи слов. Но основная фишка в том, что факт наличия этой безобразной области не зависит от шага между точками.

b099ard в сообщении #490038 писал(а):

А некоторые вещи все таки проще делать сразу в 3д, а не в проекции. Это как раз тот случай.

Опять же - нет. Вблизи полюса кривизной сферы как раз можно пренебречь. Там ваша спираль будет особенно близка к кривой Архимеда. Следовательно, косячок возле полюса ее не минует.

[b099ard]

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

b099ard в сообщении #490038 писал(а):

Если из сферы сделать плоскость получится не совсем прямоуголник, но плоский.

Милсдарь, вы меня пугаете. Я вроде четко сказал: без искривлений.

Без искревлений - чего? Полученной поверхности или краев этой поверхности?

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

То есть геодезические на сфере (дуги больших окружностей) должны преходить в отрезки прямых, углы должны сохраняться. Сие невозможно:

Я понимаю что, как говорится, охота и на елку залезть и попу не поцарапать, но трех мерный объект и его проекция - это разные вещи.

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

Возьмем для примера и пересечем сферу тремя перпендикулярными плоскостями. Они разделят ее на восемь равных треугольников.

Может быть пирамид со сферическим основанием?

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

Выберем любой из них. Он равносторонний, и углы у него равно 90 градусов. Отображаем его вашим волшебным отображением на плоскость. По идее, у нас получается равносторонний треугольник. С углами 90 градусов. На плоскости. Подаем заявку на премию Филдса!

Ни один даже очень маленький кусочек сферы нельзя распрямитьна плоскость. Никак. Сам был в шоке, когда узнал.

Мне достаточно приближенных вычислений. Из моего рисунка выше можно "собрать" сферу,
этот рисунок плоскость, жду премию.

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

b099ard в сообщении #490038 писал(а):

Как я написал ниже в посте этот "косяк" исправит наклон оси спирали к оси сферы.

То, что вы собираетесь строить, будет очень близко к спирали Архимеда. Или как там ее, ну,

Спирали разные бывают, мне больше нравится "золотая спираль" как более естественная - полученная и проверенна природой еще нескьлко миллиардов лет назад и до сих пор ей используемая.

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

кривая, в полярных координатах записывающаяся как $r=a \varphi$. Если ее приближать последовательностью точек, расстояние между которыми будет равно расстоянию между витками (а вам ведь именно так надо), то как раз перед центром придется сделать очень некрасивый отскок от истинного направления. В результате вблизи центра неизменно образуется область, где по-хорошему должна бы быть точка - но ее нет.

Дома постараюсь сделать рисунок. Это пояснит мысль куда лучше тысячи слов. Но основная фишка в том, что факт наличия этой безобразной области не зависит от шага между точками.

Очень любопытно. Можно сразу в 3д редакторе :) С меня пиво.

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

b099ard в сообщении #490038 писал(а):

А некоторые вещи все таки проще делать сразу в 3д, а не в проекции. Это как раз тот случай.

Опять же - нет. Вблизи полюса кривизной сферы как раз можно пренебречь. Там ваша спираль будет особенно близка к кривой Архимеда. Следовательно, косячок возле полюса ее не минует.

Расхождение будет в 1000 цифре дробной части, это не существенно.
Число лучей колеблется от 1 до 300 (пока), максимум до 2^64.

-- Пт окт 07, 2011 10:29:22 --

INGELRII в сообщении #490084 писал(а):

Ни один даже очень маленький кусочек сферы нельзя распрямитьна плоскость. Никак. Сам был в шоке, когда узнал.

Это утверждение противоречит логике. Поверхность любой сферы имеет некую площадь - это как факт. Значит существует двумерная фигура с той же площадью которая при неком преобразовании трансформируется в сферу. А по вышему получается что такой поверхности нет или если есть то её площадь нулевая. Поверхностей с нулевой площадью в реальном мире не существует. Вот мы и добрались до основ интегрального исчисления. :)
Для интегрирования и вычислений, вам понадобится число Пи, в данный момент оно известно с точностью до 80 000 000 знака после запятой, из чего следует, что если вы будете приближать поверхность сферы к плоскости с точностью до 80 000 000 знака после запятой, то вы получите плоскость - этих "приближенных" вычислений хватит вам рассчитать что угодно, от поверхности планет до поверхности атома.

[b099ard]

Видео с ютуба
http://youtu.be/hBRnDuUYDcU
Фрагмент с 1:45 до 2:02

[_hum_]

b099ard в сообщении #489993 писал(а):

Строю модель не вируса только , а нейрона.

Если речь о модели, может, все-таки правильнее исходить из законов (физических, биологических), определяющих развитие этого самого нейрона, а не заниматься гаданием?

[мат-ламер]

Не понял, какой вопрос обсуждается (особенно в последних постах), но любопытно рассмотреть следующую экстремальную задачу $||x_i||=1, ||x_i-x_j||\ge t,t \rightarrow max$.

[Circiter]

2b099ard
Это классическая задача компьютерной графики. Решена давно и дальше никто не продвинулся, потому что смысла мало (см. первые ответы в этой теме). :)

Вот алгоритм, которым я обычно пользуюсь: G.Marsaglia, Choosing a Point from the Surface of a Sphere.

Идея проста. В цикле равновероятно выбираем $v_1$, $v_2$ из $\left]-1;\ 1\right[$ пока не выполнится $v_1^2+v_2^2<1$, потом генерируем точки с декартовыми координатами $\left(2v_1\sqrt{1-S},\ 2v_2\sqrt{1-S},\ 1-2S\right)$, где $S=v_1^2+v_2^2$. Повторяем этот процесс нужное количество раз (ваши лучи теперь идут из начала координат через сгенерированные точки).

При определенных количествах точек вместо этого алгоритма можно переключаться на озвученные ранее соображения об использовании (правильных) многогранников.

Оптимизационные задачи тоже вполне можно решать. Я, например, предпочитаю разбрасывать по сфере "электроны" связанные друг с другом "пружинами". Итеративное применения законов Гука и Кулона дает более-менее равномерное расположение электронов. Но это не очень эффективно, не для real-time.

[b099ard]

_hum_ в сообщении #490348 писал(а):

b099ard в сообщении #489993 писал(а):

Строю модель не вируса только , а нейрона.

Если речь о модели, может, все-таки правильнее исходить из законов (физических, биологических), определяющих развитие этого самого нейрона, а не заниматься гаданием?

Это невозможно и вот почему:
Во первых я не биолог и по каким законам размещаются клетки нет времени (и желания).
Во вторых: задача классическая и я надеюсь найти приемлемое решение.

-- Сб окт 08, 2011 18:38:12 --

мат-ламер в сообщении #490461 писал(а):

Не понял, какой вопрос обсуждается (особенно в последних постах), но любопытно рассмотреть следующую экстремальную задачу $||x_i||=1, ||x_i-x_j||\ge t,t \rightarrow max$.

Не буди модера пока спит тихо :)

-- Сб окт 08, 2011 18:47:47 --

Circiter в сообщении #490509 писал(а):

2b099ard
Это классическая задача компьютерной графики. Решена давно и дальше никто не продвинулся, потому что смысла мало (см. первые ответы в этой теме). :)

Мне нравятся понятные алгоритмы не зависимые от случая, а какой смысл вы ищите?

Circiter в сообщении #490509 писал(а):

2b099ard]
Вот алгоритм, которым я обычно пользуюсь: G.Marsaglia, Choosing a Point from the Surface of a Sphere.

Идея проста. В цикле равновероятно выбираем $v_1$, $v_2$ из $\left]-1;\ 1\right[$

Большое спасибо за источник,но пока у меня есть время и желание изобрести свой велосипед, к тому же такого ни у кого нет
, хочу алгоритм без вероятностей .

-- Сб окт 08, 2011 18:56:46 --

Circiter в сообщении #490509 писал(а):

2b099ard
Идея проста. В цикле равновероятно выбираем

Алгоритм с вероятностями не пойдет по той причине, что у нейрона все отростки разной толщины поэтому на модели толстые отростки должны смещать от себя более мелкие. Расчет новых координат после очередного толстого усложнит алгоритм.

[Circiter]

Ну про нейроны вы все-таки книжки почитайте. Иначе какая-нибудь билиберда выйдет. Хотя бы картинки в каком-нибудь атласе посмотрите что-ли...

А так вам скорее всего подойдет то, что уже вам тут насоветовали. Например, начинаете с, ну допустим, куба. Проецируете его из центра на описанную около него сферу и сохраняете получившиеся "сферические грани" для дальнейшего использования. Если нужно больше вершин чем их есть у куба -- находите геметрические центры проекций граней, соединяете с ближайшими вершинами сферическими отрезочками и продолжаете рекурсивное подразбиение всех этих граней пока не получите достаточное количество вершин. Но не очень-то уверен в равномерности такого распределения...

Если не ошибаюсь, такие вот задачки ещё и у астрофизиков/астрономов возникают, попробуйте поискать в этом направлении. Там точки на небушке пытаются равномерно распределить...

Насчет разной толщины отростков ничего не понял, но возможно здесь нужна именно оптимизация, т.е. что вроде предложенного мат-ламер'ом или мной (электроны+пружинки).

[b099ard]

Circiter в сообщении #490764 писал(а):

Ну про нейроны вы все-таки книжки почитайте. Иначе какая-нибудь билиберда выйдет. Хотя бы картинки в каком-нибудь атласе посмотрите что-ли...

А так вам скорее всего подойдет то, что уже вам тут насоветовали.

Согласен.

Circiter в сообщении #490764 писал(а):

Например, начинаете с, ну допустим, куба. Проецируете его из центра на описанную около него сферу и сохраняете получившиеся "сферические грани" для дальнейшего использования. Если нужно больше вершин чем их есть у куба -- находите геметрические центры проекций граней, соединяете с ближайшими вершинами сферическими отрезочками и продолжаете рекурсивное подразбиение всех этих граней пока не получите достаточное количество вершин. Но не очень-то уверен в равномерности такого распределения...

Если не ошибаюсь, такие вот задачки ещё и у астрофизиков/астрономов возникают, попробуйте поискать в этом направлении. Там точки на небушке пытаются равномерно распределить...

Насчет разной толщины отростков ничего не понял, но возможно здесь нужна именно оптимизация, т.е. что вроде предложенного мат-ламер'ом или мной (электроны+пружинки).

Я встречал ваши сообщения на этом форуме, вы тоже решали подобую задачу, вы далеко продвинулись в ее решении?

[Circiter]

Не понимаю, о чем вы. :) Сам я только два подхода испытывал -- непонравившийся вам вероятностный и оптимизационный в терминах Кулон-Гуковских систем. С более сложными вещами, в частности с моделированием каких-нибудь "лохматых" структур вроде ваших "нейронов", дела не имел.

-- Вс окт 09, 2011 18:41:41 --

Кстати, вот ещё одна, возможно интересная, статейка, в которой упор делается на детерминистичности: A.Yershova, S.Jain, S.M.LaValle, J.C.Mitchell, Generating Uniform Incremental Grids on SO(3) Using the Hopf Fibration.

[b099ard]

Circiter в сообщении #490903 писал(а):

Не понимаю, о чем вы. :) Сам я только два подхода испытывал -- непонравившийся вам вероятностный и оптимизационный в терминах Кулон-Гуковских систем. С более сложными вещами, в частности с моделированием каких-нибудь "лохматых" структур вроде ваших "нейронов", дела не имел.

Где то видел обсуждени структур на ниточках-веревочках, мне показалось, что это ваш был пост. o_O

[Circiter]

О да. Теория цирциттеровых множеств. :) Но она чрезвычайно сложна и вообще заброшена. :) Хотя периодически я к той задаче возвращаюсь. Однако к вашей проблеме, боюсь, она никакого отношения не имеет...

-- Вс окт 09, 2011 19:16:52 --

Выше я там астрономов упоминал. Помню было одна статейка, но что-то у себя никак её найти не могу, и не гуглится, зараза. Но есть интересное описание одной софтины в astro-ph/0409513, там тоже смачно рассказывается о подходе к дискретизации сферы. На этот раз обычной, двумерной, а то я вас прошлой ссылкой на гиперсферические фантазии биологов напугал наверное. :)

-- Вс окт 09, 2011 19:39:36 --

Ещё вот здесь есть кое-что о сетке с равными по площади ячейками на сфере: D.Rosca, New Uniform Grids on the Sphere. А мысль, похожая на ту мою идею с рекурсивным подразбиением сетки начиная с проекции куба на сферу, развивается в ____, G.Plonka, Uniform Spherical Grids via Equal Area Projection from the Cube to the Sphere. В этих двух работах ещё и картинки есть. :)

Но все эти детерминистические равномерные распределения на сфере плохи тем, что невооруженным глазом на картинках с такими сферическими сетками видны все-таки характерные нерегулярности, швы, морщины... В вероятностном или оптимизационном подходах там неизбежные неточности и шум маскируют "непричесываемость" сферы и дают визуально более красивый результат.