Обыкновенный диффур

[tvadim1]

Здравствуйте, математики! Помогите, пожалуйста, с диф.уравнением:
$y'=|y|^a$
При каких a каждое решение продолжимо на бесконечный интервал (-беск;+беск)

[ИСН]

При которых его в нуле не уносит к чертям, ясно же.

-- Чт, 2011-10-06, 01:30 --

А нет, нифига! Если у него это самое, то оно ещё может это самое в этом самом. Короче, решайте по-настоящему, там интересно.

[Klad33]

Решение данного ДУ оказалось удивительно красивым:

$y=(1-a)(C+x) \bigg |(1-a)(C+x)\bigg | ^{\frac{a}{1-a}}$

[ИСН]

Это кроме особого случая.

[Klad33]

Ну, естественно! Какая же математика без случаев особых?

[ewert]

ИСН в сообщении #489958 писал(а):

Это кроме особого случая.

Кроме как минимум двух особых (смотря как подсчитывать).

[Klad33]

Хотелось бы, чтобы Вы подробно эти случаи описали. Тогда данная интересная задача окажется полностью раскрытой.

[ewert]

Один очевиден просто из формы ответа. Кроме того, в ответе потеряно нулевое решение. Кроме того, раз уж речь о продолжимости решения -- то в любом случае, когда эта продолжимость есть (кроме того самого первого особого случая) эта продолжимость неединственна.

[Klad33]

Вот пример красоты полученного выражения при a=-2 и при С от -5 до 5



И при фиксированном С :



-- 06.10.2011, 12:54 --

ewert в сообщении #489979 писал(а):

... в ответе потеряно нулевое решение. Кроме того, раз уж речь о продолжимости решения -- то в любом случае, когда эта продолжимость есть (кроме того самого первого особого случая) эта продолжимость неединственна.

1) Можете привести тут потерянное нулевое решение?
2) Насчет продолжимости не понял. Конкретно в виде формул или графика можете пояснить?

[Klad33]

Построил разницу $f=y'-|y|^a$ при С=5

На графике видно, какая "шумит" мелочь, скорее всего связанная с точностью расчетов. Есть, конечно, особая точка, как и в любой функции, где параметр обращает знаменатель в ноль. Ну и что из этого? Почему это не полноценное решение ДУ?

[Klad33]

Можете проверить это в Maple:

y := (1-a)*(c+x)*abs((1-a)*(c+x))^(a/(1-a)); y1 := diff(y, x); z := y1-abs(y)^a; a := -2; c := 5; plot(z, x = -10 .. 10, t = -10^(-14) .. 10^(-14), color = black);