Кинематика

[give_up]

Помогите разобраться с задачей:
Точка движется в пространстве с постоянным ускорением $W$. В начальный момент $t= 0$ она имеет скорость $\[\overrightarrow {{v_0}} \]$, образующую с ускорением угол $a$. Определить радиус кривизны траектории точки как функцию времени.

Я решал в трехграннике Дарбу и использовал равенства: (где $\[ \bullet \,\, = \,\frac{d}{{dt}}\]$)
$\[\begin{array}{l} {W^2} = {W_\tau }^2 + {W_n}^2 = {\mathop v\limits^ \bullet ^2} + \frac{{{v^4}}}{{{\rho ^2}}} \Rightarrow \rho = \frac{{{v^2}}}{{\sqrt {{W^2} - {{\mathop v\limits^ \bullet }^2}} }};\\ (\overrightarrow W ,\overrightarrow {{v_0}} ) = W{v_0}\cos a = {W_\tau }{v_0} = \mathop v\limits^ \bullet {v_0}\, \Rightarrow \,\mathop v\limits^ \bullet = W\cos a\\ v = {v_0} + \mathop v\limits^ \bullet t\\ \mathop v\limits^ \bullet = \operatorname{const} \end{array}\]$
где второе равенство (с углом) справедливо в силу того, что $\[\mathop v\limits^ \bullet = \operatorname{const}]$
Далее подставил значения $\[v,\mathop v\limits^ \bullet \]$ первое равенство и получил $\[\rho = \left| {\frac{{v_0^2 + 2{v_0}Wt\cos a + {W^2}{{\left( {\cos a} \right)}^2}{t^2}}}{{W\sin a}}} \right|\]$.
В ответе же $\[\rho = \frac{{{{\left( {v_0^2 + 2{v_0}Wt\cos a + {W^2}{t^2}} \right)}^{3/2}}}}{{W{v_0}\sin a}}\]$

Посдкажите, где у меня ошибка!

[Андрей123]

Ответ верный. Ваши ошибки: $\dot v=\operatorname{const}$,$v=v_0+\dot v t$. Последнее равенство запишите в векторном виде, и все станет понятно.

[give_up]

Разве $\[\mathop v\limits^ \bullet =\operatorname{const}\]$ ошибка? А формула $v=v_0+\dot v t$ неправильная, потому что движение не является прямолинейным?

[Андрей123]

$v$ -это модуль скорости, $\dot v$ - его производная по времени. Т.к. ускорение постоянное, то $\overrightarrow v=\overrightarrow v_0+\overrightarrow W t$. Значит $v=\sqrt{<\overrightarrow v,\overrightarrow v>}=\sqrt{v_0^2+2W v_0 t \cos\alpha+W^2 t^2}$. Ну а $\dot v$ уже сами найдите.

[give_up]

Спасибо, теперь понятно стало!