Основы теории управления. Критерий Стодолы.

[Mikle1990]

Для того, чтоб определить устойчива система или нет используется критерий Стодолы(ну и другие критерии...).

Критерий Стодолы
Этот критерий является следствием из Корневого критерия и формулируется следующим образом. Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

Пример.
$W(s)=\frac{3s+4}{s^3+2s^2+2,25s+1,25}$
Характеристический полином: $s^3+2s^2+2,25s+1,25$
Как мы видим, все коэффициенты положительны. Следовательно, опираясь на Критерий Стодолы, передаточная функция $W(s)$ соответствует устойчивой системе.

Кто-нибудь может мне объяснить почему "линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны"?

(Оффтоп)

Так как Критерий Стодолы следствие из Корневого критерия, напоминаю вам, что для последнего система устойчива тогда, когда все действительные корни и действительные части комплексных корней - отрицательные.

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #489779 писал(а):

Кто-нибудь может мне объяснить почему "линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны"?

Вряд ли кто-нибудь сможет. Поскольку это не критерий: утверждение верно лишь в одну сторону, иначе как-то совсем уж легко было бы жить. Причём в прямо противоположную: из устойчивости системы следует положительность коэффициентов, но никак не наоборот.

[Mikle1990]

(Оффтоп)

ewert, ну вот если я не расскажу "обоснование критерия Стодолы" - то зачёта мне не видать.

Я кое-что нашёл в книге:
Для систем первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчивости, поскольку в этом случае при положительных коэффициентах характеристического уравнения все его корни являются левыми.

У меня отсюда два вопроса:
1. "являются левыми" - это значит что они находятся слева на комплексной плоскости - являются отрицательными?
2. Порядок системы определяется по максимальному порядку переменной $s$ в характеристическом полиноме? Т.е. примере, который я написал в первом сообщении, система является системой третьего порядка?

[ewert]

Да. В отличие от предыдущего утверждения эти -- верны.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #489786 писал(а):

1. "являются левыми" - это значит что они находятся слева на комплексной плоскости - являются отрицательными?

Имеют отрицательную действительную часть!

[Mikle1990]

А теперь ещё чуть глубже.
Все коэффициенты положительно следовательно - все корни слева.

Вопрос: Почему так?
Ответ:
Исходя из теоремы Безу, характеристическое уравнение можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни $s_{1}$, $s_{2}$,..., $s_{n}$:
$a_{0}(s-s_{1})(s-s_{2})...(s-s_{n})=0$
Мы видим, что если все корни отрицательные, то наши коэффициенты будут положительными.

Правильно?

И теперь самый главный вопрос: "Почему если корни находятся слева на комплексной оси, то система является устойчивой?"

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #489863 писал(а):

Исходя из теоремы Безу, характеристическое уравнение можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни $s_{1}$, $s_{2}$,..., $s_{n}$:
$a_{0}(s-s_{1})(s-s_{2})...(s-s_{n})=0$
Мы видим, что если все корни отрицательные, то наши коэффициенты будут положительными.

Лично мне тут не нравится, что речь идёт только о действительных корнях и все они имеют 1-кратность. В общем случае это не так. Возможно в полном тексте, откуда вы взяли эту фразу оговорены некоторые условия при которых ведётся изложение материала.

Mikle1990 в сообщении #489863 писал(а):

И теперь самый главный вопрос: "Почему если корни находятся слева на комплексной оси, то система является устойчивой?"

Устойчивой называется ЛСПП с ограниченной импульсной характеристикой (ИХ). ИХ связана с передаточной функцией (ПФ) как пара преобразований Лапласа. В общем случае корни знаменателя ПФ могут быть действительными различной кратности, либо парными комплексно-сопряжёнными, а сама ПФ может быть представлена как сумма дробей вида:
$\frac {A(s)} {s-s_k}$ - соответствует действительным корням кратности 1;
$\frac {B(s)} {(s-s_k)^m}$ - соответствует действительным корням кратности $m$
$\frac {C(s)} {(s-s_k)(s-s_k^*)}$ - соответствует комплексно-сопряжённым корням;
$A(s), B(s), C(s)$ - многочлены по степеням $s$
Теперь открываем таблицу преобразований Лапласа, смотрим какие оригиналы соответствуют этим изображениям и видим, что в оригинале присутствует множитель вида $e^{\operatorname{Re}s_k t}$, который определяет затухание при $\operatorname{Re}s_k<0$, что и обеспечивает ограниченность ИХ.

[Mikle1990]

profrotter, а можно чуть чуть попроще? Я понимаю, что это и так просто. Но хочется услышать что-то в 2-3 предложения.

[ewert]

profrotter в сообщении #489876 писал(а):

Лично мне тут не нравится, что речь идёт только о действительных корнях и все они имеют 1-кратность.

Положим, про кратности тут ровно ничего не было сказано, и быть они могут какими угодно.

Mikle1990 в сообщении #489863 писал(а):

А теперь ещё чуть глубже.
Все коэффициенты положительно следовательно - все корни слева.

Вопрос: Почему так?
Ответ:

Какой же это ответ? Вы доказали обратное: если все корни отрицательны, то коэффициенты положительны. Для общего случая, когда все корни в левой полуплоскости, доказательство ровно такое же, надо лишь предварительно свернуть каждую пару комплексно сопряжённых скобок в квадратный трёхчлен.

А в другую сторону утверждение очевидно неверно. Тривиальный контрпример: $(s+1)(s^2+1)=s^3+s^2+s+1.$ И если чуть-чуть сместить корни $\pm i$ в правую полуплоскость: $(s+1)(s^2-\varepsilon\,s+1),\ \ \varepsilon>0,$ то коэффициенты тоже изменятся лишь чуть-чуть и, следовательно, так и останутся положительными.

-- Чт окт 06, 2011 09:35:46 --

Да, а в случае отсутствия комплексных корней это и впрямь критерий (он называется критерием Якоби). И доказательство в другую сторону совсем уж тривиально: из положительности коэффициентов следует, что многочлен не обращается в ноль на неотрицательной полуоси и, значит, любой его корень отрицателен (раз уж все они вещественны).

[Mikle1990]

(Оффтоп)

Я тут в поиск по форуму ввёл слово "Стодолы" и только свои темы увидел. Ясно теперь, почему вы мне не смогли помочь к зачёту подготовится.

Вот я пришёл на зачёт. Отвечаю по Критерию Стодолы так:
1. Критерий Стодолы является следствием Корневого критерия.
2. Формулируется так: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.
3. Критерий Стодолы является необходимым, и при этом, достаточным условием только для система 1-го и 2-го порядка. Для систем большего порядка, этот критерий также является необходимым, но не является достаточным.
Доказательство
4. Характеристическое уравнение
$D(s)=a_{0}s^n+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}=0$
в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни $s_{1}, s_{2},...,s_{n}:$
$a_{0}(s-s_{1})(s-s_{2})...(s-s_{n})=0$
...
Короче говоря, я прошу вас доказать на примере уравнения 2-го порядка то, что в итоге все коэффициенты окажутся положительными. Для двух случаев:
1) $s_{1}, s_{2} \in R $ (действительные корни)
2) $s_{1}, s_{2} \in C$ (комплексные корни)

(Оффтоп)

А вот это мне учительница написала:
$a_{0}(s-s_{1})(s-s_{1})$
$S_{1}=\alpha+i\beta$
$S_{2}=\alpha-i\beta$
$\alpha < 0$
По тому что в этом оффтопе - спрашивать не стоит. Это я написал для тех, кто разбирается... чтоб была меньше вероятность, что я их запутаю или они сами запутаются.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #490276 писал(а):

Короче говоря, я прошу вас доказать на примере уравнения 2-го порядка то, что в итоге все коэффициенты окажутся положительными. Для двух случаев...

На самом деле случаев три! Начинаем с простого случая: корни действительны, различны, отрицательны $s_1\neq s_2, s_1<0, s_2<0$. Я начинаю, вы - продолжаете:
$(s-s_1)(s-s_2)=...$ (раскройте скобки)

[Mikle1990]

$(s-s_1)(s-s_2)=s^2-ss_2-ss_1+s_1s_2$

[ewert]

profrotter в сообщении #490344 писал(а):

(раскройте скобки)

Не надо раскрывать этих скобок. Надо доказать (и даже не то что доказать, а просто обратить внимание на) вполне очевидный факт: если у каждого из двух многочленов все коэффициенты положительны, то и у их произведения -- тоже. После чего все сразу получается по индукции.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #490383 писал(а):

$(s-s_1)(s-s_2)=s^2-ss_2-ss_1+s_1s_2$

$(s-s_1)(s-s_2)=s^2-s(s_1+s_2)+s_1s_2$ Коэффициенты многочлена второй степени $s^2+ps+q$ и его корни в рассматриваемом случае связаны соотношениями:
$p=-(s_1+s_2)$
и
$q=s_1s_2$
(Это просто теорема Виета какая-то )
Если корни отрицательны, то при их сложении мы получим отрицательное число и, следовательно, $p$ будет положительным, а при их умножении получим положительное число и $q$ тоже будет положительным. Это мы доказали, что отрицательность корней обеспечивает положительность коэффициентов. Теперь обратно. Пусть $p>0,q>0$, тогда
$-(s_1+s_2)>0$ или $s_1+s_2<0$
и
$s_1s_2>0$
Второе означает, что $s_1$ и $s_2$ имеют одинаковый знак, то есть либо оба полжительны, либо оба отрицательны (нулевой корень не расматриваем - при желании потом сами). Теперь смотрим на первое равенство и думаем что можно сказать о корнях и почему?

[profrotter]

ewert в сообщении #490392 писал(а):

Не надо раскрывать этих скобок. Надо доказать (и даже не то что доказать, а просто обратить внимание на) вполне очевидный факт: если у каждого из двух многочленов все коэффициенты положительны, то и у их произведения -- тоже. После чего все сразу получается по индукции.

Это уже было, ewert, и я с этим абсолютно согласен:

ewert в сообщении #489934 писал(а):

Какой же это ответ? Вы доказали обратное: если все корни отрицательны, то коэффициенты положительны. Для общего случая, когда все корни в левой полуплоскости, доказательство ровно такое же, надо лишь предварительно свернуть каждую пару комплексно сопряжённых скобок в квадратный трёхчлен.
...
Да, а в случае отсутствия комплексных корней это и впрямь критерий (он называется критерием Якоби). И доказательство в другую сторону совсем уж тривиально: из положительности коэффициентов следует, что многочлен не обращается в ноль на неотрицательной полуоси и, значит, любой его корень отрицателен (раз уж все они вещественны).

Но от чего-то не устроило то ли автора темы, то ли его учительницу. Интересно какая она? - Если молодая и красивая, то зачёт можно ходить сдавать вечно...