Граничная т. это либо предельная либо изолированная т. (док)

[GrishinUS]

Здравствуйте,

следующая задача встретилась:

"Докажите что граничная точка это либо предельная точка либо изолированная точка".
Что у меня есть на сегодняшний день:

есть определение $bd \text{ }S$, оно гласит: точка $x$ называется граничной если для любой ее окрестности $N$ выполняется следующее $N \cap S \neq \emptyset$ и $N \cap (\mathbb{R} \setminus S) \neq \emptyset$.
То есть получается что если множество непрерывное то из определения выше сразу следует определение предельной точки ($N^*(x;\varepsilon) \cap S \neq \emptyset \text{ } \forall \varepsilon>0$), а если множество дискретно, тогда определение изолированной точки ($x\in S$ и $x \notin S'$).

Но как мне "оформить" это? Я же не могу написать "давайте рассмотрим два случая: 1) множество непрерывно 2) множество дискретно" (может еще какие-то есть).

Значит надо как-то по-другому доказывать.

Спасибо.

[Хорхе]

А что такое "непрерывное" множество?

[Cash]

Просто докажите, что множество граничных точек, которые не являются предельными, совпадает со множеством изолированных точек.

[alcoholist]

в определении "предельной точки" учавствует проколатая окрестность, а в определении граничной -- произвольная... Вот и разница:)

[Cash]

про дискретные множества у вас не совсем четкие представления.
Положительные (неотрицательные) рациональные числа - вполне себе дискретное множество, однако единственная граничная точка является именно предельной

[PAV]

Либо найдется такая окрестность, в которой данная точка будет единственной точкой из $S$ - тогда она изолированная. Если же такой окрестности не существует - тогда она предельная.

-- Ср окт 05, 2011 11:07:34 --

Собственно говоря, это верно не только для граничной точки множества, но и вообще для любой точки множества.

-- Ср окт 05, 2011 11:08:23 --

Ну и также для некоторых точек, не принадлежащих множеству $S$

-- Ср окт 05, 2011 11:09:48 --

То есть я хочу сказать, что мы используем только первую часть определения граничной точки $N\cap S\ne\emptyset$, а вторая часть в данной задаче не нужна

[alcoholist]

Множество рациональных точек на прямой вполне несвязно... но уж никак не дискретно (в индуцированной топологии)

-- Пн окт 10, 2011 21:40:51 --

"Cash", друг, Вы в своем уме?-))) Дискретное множество -- это эвфемизм "дискретного топологического пространства"

Гомеоморфный тип дискретного топологиеского пространства определяется только его мощностью

-- Пн окт 10, 2011 21:43:42 --

на вещественной прямой ЛЮБАЯ точка является граничной точкой множества рациональных чисел... По той простой причине, что у него пустая внутренность и оно всюду плотно