сравнения

[dyxi]

Пусть

$$ \begin{cases} a=(ix+j)~mod~p,\\ a'=(ix'+j)~mod~p, \end{cases} $$

где $0\leq i,j,x,x'\leq p-1, p$ - простое число.
Доказать, что для любой пары $(x,x'):x\neq x'$ пара $(a,a')$ ровно одна.

[alcoholist]

пусть... и что? Это Олимпиада? Какого года, где?

[dyxi]

Это задачка по общей алгебре, не с олимпиады. Как решать - пока не знаю, вот и запостил.

[Joker_vD]

А точно такое условие? Потому что в таком виде задачка, извините, идиотская: берем $x$, по нему однозначно находится $a$, аналогично с $x'$ и $a'$ — ведь правило $x \mapsto (ix+j)\bmod p$ задает функцию!

[dyxi]

Joker_vD, но $i,j$ могут принимать по $p$ значений.

[Joker_vD]

dyxi
Но они же фиксированы?

[dyxi]

нет, только $x,x'\neq x$ фиксированы (ну и $p$).

-- 04.10.2011, 00:51 --

Все числа из поля $\mathbb{Z}_p$.

[Null]

Если $i$ и $j$ не фиксированы что такое $a$ и $a'$?

(Оффтоп)

Почему буквы на разной высоте?

[Sonic86]

dyxi, Вы хотите узнать, биективна ли линейная функция на $\mathbb{Z}_p^2$?

[dyxi]

Null, если взять сумму $(ix+j)$ по $mod~p$, то получится $a$. Аналогично $a'$. То есть это просто алгоритм получения $a$.

(Оффтоп)

Вчера была нормальная высота

-- 04.10.2011, 08:35 --

Sonic86, мы выбрали $(x,x')$. Посчитали $(a,a')$ для каких-то $(i,j)$. Для других $(i,j)$ пара $(a,a')$ будет другой. Последнее требуется доказать.

(Оффтоп)

Теперь опять одна высота.

[Cash]

Предположите, что для каких-то $i_1, i_2, j_1, j_2$ выполняется
$a=(i_1x+j_1)~mod~p$
$a=(i_2x+j_2)~mod~p$
$a'=(i_1x'+j_1)~mod~p$
$a'=(i_2x'+j_2)~mod~p$

Вычитая из одного равенства другое, избавляетесь от $a$ и $a'$
потом еще один раз вычесть- уходят $j_1, j_2$
И будет вам счастье...