Найти первообразную

[nnosipov]

для функции

$$ \frac{x+\frac{1}{6}}{\sqrt{x^4+x^2+x+\frac{1}{4}}}. $$

P.S. Я не уверен, что эту задачу можно отнести к олимпиадным, но этот пример на взятие первообразной интересен с разных точек зрения.

[alex1910]

Да, действительно интересно - хотя бы тем, что вольфрам выдает что-то несусветное.

[nnosipov]

alex1910 в сообщении #488984 писал(а):

Да, действительно интересно - хотя бы тем, что вольфрам выдает что-то несусветное.

Вот-вот. Если затем это несусветное продифференцировать (что не сразу выйдет, но всё-таки выйдет), то получится вообще жуть, а не та первоначальная скромная дробь.

[alex1910]

nnosipov в сообщении #488989 писал(а):

alex1910 в сообщении #488984 писал(а):

Да, действительно интересно - хотя бы тем, что вольфрам выдает что-то несусветное.

Вот-вот. Если затем это несусветное продифференцировать (что не сразу выйдет, но всё-таки выйдет), то получится вообще жуть, а не та первоначальная скромная дробь.

Эта жуть, конечно, будет совпадать с первоначальной дробью, но доказать это будет сложнее, чем честно найти производную.

Кстати, не считал и не буду, но она берется в эл. функциях?

[Vince Diesel]

Ответ равен

$$ \frac{1}{6} \mathop{\rm arcsinh}\left(8 x^6-8 x^5+16 x^4-4 x^3+4 x^2+2 x\right). $$

Правда, получен с помощью математики 8.0 и с точки зрения взятия первообразных не интересен
Как именно, оставляю в качестве олимпиадной задачи Как по мне, сейчас такие задачи актуальнее, чем подбор возможных замен.

[nnosipov]

Vince Diesel в сообщении #489038 писал(а):

Правда, получен с помощью математики 8.0

Однако прогресс произошёл в системах компьютерной алгебры. Но Maple 15 не умеет этого делать, а в математике 8.0, видимо, как-то реализовали алгоритм Чебышёва (этот пример ему принадлежит). А что скажет эта математика, если ей скормить ту же дробь, но с числителем $x+\frac{1}{5}$?

[Vince Diesel]

Математика выдает

$$ \frac{1}{5} \sqrt{-\frac{1}{10}+\frac{i}{5}} \left((1-i)+\sqrt{-1-2 i}\right) \sqrt{\frac{\left(2 i+\sqrt{-1-2 i}-\sqrt{-1+2 i}\right) \left(-2 x+\sqrt{-1-2 i}-i\right)}{\left(-2 i+\sqrt{-1-2 i}+\sqrt{-1+2 i}\right) \left(2 x+\sqrt{-1-2 i}+i\right)}} \times $$ $$\times \left(2 x+\sqrt{-1-2 i}+i\right)^2 \sqrt{-\frac{(-1+3 i)+\sqrt{-11-2 i}}{\left(2 x+\sqrt{-1-2 i}+i\right)^2 (2 x (x+i)+i)}} \left(\left((5+2 i)-5 \sqrt{1+2 i}\right) \times $$ $$\times F\left(\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(5+\sqrt{(5+60 i)+20 \sqrt{-11-2 i}}\right) \left(2 x+\sqrt{-1+2 i}-i\right)}{2 x+\sqrt{-1-2 i}+i}}}{\sqrt{10}}\right)|\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)\right)+5 \left(\sqrt{2 \left(1+\sqrt{5}\right)}-2\right) \times $$ $$\times \Pi \left(\frac{2 \sqrt{-1+2 i}}{2 i+\sqrt{-1-2 i}+\sqrt{-1+2 i}};\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{\frac{\left(5+\sqrt{(5+60 i)+20 \sqrt{-11-2 i}}\right) \left(2 x+\sqrt{-1+2 i}-i\right)}{2 x+\sqrt{-1-2 i}+i}}}{\sqrt{10}}\right)|\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)\right)\right), $$

где $\Pi$ и $F$ - эллиптические интегралы первого и третьего рода соответственно.
Примерно то же самое и для $1/6$. Я получил результат всякими финтами.

[alex1910]

Vince Diesel в сообщении #489038 писал(а):

Ответ равен

$$ \frac{1}{6} \mathop{\rm arcsinh}\left(8 x^6-8 x^5+16 x^4-4 x^3+4 x^2+2 x\right). $$

Правда, получен с помощью математики 8.0 и с точки зрения взятия первообразных не интересен
Как именно, оставляю в качестве олимпиадной задачи Как по мне, сейчас такие задачи актуальнее, чем подбор возможных замен.

А Вы уверены в этом ответе? Если это продифференцировать - получится многочлен пятой степени деленный на корень из многочлена 12-й степени: это вряд ли совпадает с исходной функцией.

[Vince Diesel]

Проверяется так:

Simplify[D[(1/6)* ArcSinh[8*x^6 - 8*x^5 + 16*x^4 - 4*x^3 + 4*x^2 + 2*x], x],  x \[Element] Reals]

[nnosipov]

Vince Diesel в сообщении #489065 писал(а):

Я получил результат всякими финтами.

Так Вы это руками доделывали? Но это совсем другое дело. Или же математика потом сама упростила до гиперболического арксинуса?

-- Пн окт 03, 2011 21:24:57 --

alex1910 в сообщении #489091 писал(а):

А Вы уверены в этом ответе? Если это продифференцировать - получится многочлен пятой степени деленный на корень из многочлена 12-й степени: это вряд ли совпадает с исходной функцией.

Всё хоккей, я в Maple 15 проверил.

[Vince Diesel]

Я сам придумывал способ Как получить ответ из такого вот выражения не знаю, математика не упрощает. Но да, ответ, который у меня в конце концов получился в виде логарифма, математика сумела упростить до гораздо более короткого гиперболического арксинуса.

[nnosipov]

Vince Diesel в сообщении #489119 писал(а):

Как получить ответ из такого вот выражения не знаю, математика не упрощает.

Если речь о дроби с числителем $x+\frac{1}{5}$, то так и должно быть, поскольку в этом случае первообразная в элементарных функциях не выражается. Если же про первоначальную дробь, то, получается, математика 8.0 сама до логарифма не упрощает. Так, да? Это, конечно, лучше, чем Maple 15, но всё равно далеко до идеала.

(Оффтоп)

А легко ли добыть математику 8.0?

[Vince Diesel]

Речь идет об исходной дроби. Ничего не упрощает, примерно как я привел.

(Оффтоп)

На торренте скачать можно.

[nnosipov]

Vince Diesel, спасибо за проведённые опыты. Похоже, истинный прогресс ещё впереди.

(Оффтоп)

Спасибо за совет. Туда я как раз и собирался .

[мат-ламер]

Простите, а не кто не пробовал так. За новую переменную взять неопределённый интеграл от числителя $t=x^2/2+x/6+C$. А через эту переменную может выразиться подкоренное выражение в знаменателе как квадратный трёхчлен. Но в уме без карандаша и бумаги сообразить не получается.