Привести пример такого Евклидова пространства:?

[aeterna]

Нужно привести пример Евклидова пространства $H$ и его замкнутого подпространства, такое что пряма сумма этого подпространства с его ортогональным дополнением не даёт всё $H$

[JMH]

Такое пространство, пожалуй, не может быть конечномерным?

[aeterna]

А ограничений на размерность нет

[мат-ламер]

И это пространство не может быть полным. Иначе раскладывается (недавно тут доказывали теорему на эту тему). Простейший пример неполного пространства - пространство многочленов.

-- Вс окт 02, 2011 11:55:56 --

Расмотрим пространство многочленов на отрезке $[-1,1]$. Рассмотрим в нём замкнутое пространство многочленов нулевой степени (констант). Ортогональное дополнение к нему - это пространство многочленов, у которой все одночлены в нечётной степени. Прямая сумма двух пространств - это пространство многочленов, у которых отличные от нуля члены - это одночлены с нулевой и нечётной степенями.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #488506 писал(а):

Ортогональное дополнение к нему - это пространство многочленов, у которой все одночлены в нечётной степени.

Если скалярное произведение --- это интеграл по отрезку $[-1,1]$ от произведения многочленов, то нет, конечно.

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #488713 писал(а):

мат-ламер в сообщении #488506 писал(а):

Ортогональное дополнение к нему - это пространство многочленов, у которой все одночлены в нечётной степени.

Если скалярное произведение --- это интеграл по отрезку $[-1,1]$ от произведения многочленов, то нет, конечно.

Да, действительно, например $3x^2-5x^4$ принадлежит ортогональному дополнению. А куда делся топикстартер? Тут же не решают за них задачи, а помогают.

-- Вс окт 02, 2011 21:07:18 --

Однако свободного члена у многочлена из ортогонального дополнения нет. И если к многочлену из этого ортогонального дополнения добавить свободный член, то мы не получим множество всех многочленов. А что думает топикстартер?

[ewert]

мат-ламер в сообщении #488787 писал(а):

Однако свободного члена у многочлена из ортогонального дополнения нет.

Есть, разумеется. Многочлен из ортогонального дополнения лишь в среднем равен нулю, и всё. Ничего насчёт свободного члена это утверждение не даёт.

Таким дешёвым способом контрпример не построить. Тут надо сложить два незамкнутых "подпространства", угол между которыми нулевой. Эта тема тут периодически всплывает, но я постоянно забываю, как всё это разумно оформить.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #488787 писал(а):

Однако свободного члена у многочлена из ортогонального дополнения нет. И если к многочлену из этого ортогонального дополнения добавить свободный член, то мы не получим множество всех многочленов.

Не выйдет здесь контрпримера (лёгкое упражнение).

[мат-ламер]

ewert в сообщении #488807 писал(а):

Таким дешёвым способом контрпример не построить

Я тоже понял, что эта идея с многочленами в корне неверна.

[aeterna]

ewert в сообщении #488807 писал(а):

Таким дешёвым способом контрпример не построить. Тут надо сложить два незамкнутых "подпространства", угол между которыми нулевой. Эта тема тут периодически всплывает, но я постоянно забываю, как всё это разумно оформить.

Я вас не понял, можете пояснить?

[мат-ламер]

aeterna в сообщении #488434 писал(а):

Нужно привести пример Евклидова пространства $H$ и его замкнутого подпространства, такое что пряма сумма этого подпространства с его ортогональным дополнением не даёт всё $H$

А может это вообще не верно? Вроде в теореме о проекции полнота исходного пространства не требуется, а требуется замкнутость подпространства, на которое проектируют. Я не уверен и завтра посмотрю в учебнике.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #488867 писал(а):

Вроде в теореме о проекции полнота исходного пространства не требуется,

Формально -- требуется. Там строится некая последовательность приближений, которая, якобы, даёт в пределе некий элемент того самого подпространства. Но для этого само подпространство должно быть полным ("в себе"). А это подразумевает полноту исходного пространства; иначе -- если нет вообще никакой точки опоры -- всё как-то совсем не склеивается.

[Null]

А так можно?
$V$- гладкие на $[-1,1]$. Скалярное произведение $(f,g)=\int_{-1}^1 f(t)g(t)dt$
$V_1$ - гладкие на $[-1,1]$ и равные 0 на $[-1,0]$
ортогональное дополнение - $V_2$ - гладкие на $[-1,1]$ и равные 0 на $[0,1]$
$V_1+V_2$ - гладкие на $[-1,1]$ и равные 0 в 0, что не совпадает с $V$

[ewert]

Да, так получится. Причём под гладкостью достаточно понимать непрерывность.

[nnosipov]

ewert в сообщении #489116 писал(а):

Причём под гладкостью достаточно понимать непрерывность.

Мне почему-то тоже так подумалось, но детали проверять не стал.