Помогите сосчитать число гомоморфизмов

[David Sunrise]

Сколько имеется гомоморфизмов из $Q[\sqrt{2}]$ в $R$ ?

[alcoholist]

А сколько гомоморфизмов из $\mathbb{Q}$ в $\mathbb{R}$?

[Kallikanzarid]

Не менее чем счетное число.

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #489085 писал(а):

А сколько гомоморфизмов из $\mathbb{Q}$ в $\mathbb{R}$?

Чё?! Это как вообще
А гомоморфизмов из $\mathbb{Z}_2$ в $\mathbb{Z}$ у Вас нет? Обалдеть, дайте две!!!

[Kallikanzarid]

Вообще даже континуум легко набежит: $\mathbb{Q} \to r\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, $r \in \mathbb{R}^\times$. И это у меня фантазия бедная и это только гомоморфизмы колец, гомоморфизмов абелевых групп, подозреваю, будет ОЧЕНЬ много.

[alcoholist]

Гомоморфизм из поля конечной характеристики в поле с бесконечной обязан быть тривиальным. А из ку в эр есть и нетривиальн.)))

[Joker_vD]

Sonic86
Вообще-то, из $\mathbb Q$ есть один гомоморфизм в $\mathbb R$.

David Sunrise
Ровно столько, сколько различных корней у минимального многочлена $\sqrt2$ в $\mathbb R$.

Kallikanzarid
А вы не слышали, что гомоморфизмы колец сохраняют единицу?

alcoholist
Гомоморфизм из поля конечной характеристики в поле с нулевой характеристикой вообще существовать не может.

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #489095 писал(а):

А из ку в эр есть и нетривиальн.)))

Не понимаю. Ведь $|\mathbb{Q}|<|\mathbb{R}|$? Или имеется ввиду не эпиморфизм?

Joker_vD в сообщении #489096 писал(а):

Sonic86
Вообще-то, из $\mathbb Q$ есть один гомоморфизм в $\mathbb R$.

Ведь даже тривиальное отображение $x \to x$ не гомоморфизм?

[alcoholist]

Вы уже почти решили все вопросы ТС)

Sonic: гомоморфизм -- это гомоморфизм... учите матчасть)

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #489100 писал(а):

Sonic: гомоморфизм -- это гомоморфизм... учите матчасть)

А! Понял, туплю

[Joker_vD]

Sonic86 в сообщении #489097 писал(а):

Joker_vD в сообщении #489096 писал(а):

Sonic86
Вообще-то, из $\mathbb Q$ есть один гомоморфизм в $\mathbb R$.

Ведь даже тривиальное отображение $x \to x$ не гомоморфизм?

Это почему это? Операции сохраняются, ноль сохраняется, единица сохраняется... все в порядке...

[David Sunrise]

Цитата:

Sonic86
Вообще-то, из есть один гомоморфизм в .

David Sunrise
Ровно столько, сколько различных корней у минимального многочлена в .

А можно маленькое объяснение на счет этих двух пунктов,может ссылки на теоремы или наброски доказательства...

[alcoholist]

Джокер_vD (сорри, у меня тупит броузер)

Тут возможны терминологический расхождения... я имел ввиду, что гомоморфизм, это отображение, сохраняющее умножение и сложение... так что всё в ноль -- гомоморфизм в моем смысле.

Наверное есть учебники, где гомоморфизм структур интерпретируется именно так)

[Joker_vD]

David Sunrise
Пусть есть $f\colon \mathbb Q[\sqrt2]\to\mathbb R$ — вложение полей (т.е. гомоморфизм... но обычно говорят именно про вложения, чтобы не было недоразумений с тем, куда может переходить 1). Заметим, что на $\mathbb Q$ отображение $f$ является тождественным отображением (т.к. $0\mapsto 0$, $1 \mapsto 1$, то и $2 \mapsto 2$, и т.д.). Раз $\sqrt2$ является корнем $x^2-2$ в $\mathbb Q$, то $f(\sqrt2)$ будет являться корнем $f(1)x^2-f(2) = x^2-2$ в $\mathbb R$. А сколько корней у $x^2-2$ в $\mathbb R$?

Теперь достаточно сообразить, что если $f$ и $g$ — два таких вложения, и $f(\sqrt2)=g(\sqrt2)$, то $f=g$.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #489096 писал(а):

Kallikanzarid
А вы не слышали, что гомоморфизмы колец сохраняют единицу?

Это от точных определений зависит