Вычислить сумму

[RFZ]

Здравствуйте!
Дана следующая сумма $\sum \limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cos 2k$ и нужно ее вычислить. Я пока не знаю как это сделать, но могу вычислить сумму вида $\sum \limits_{k=1}^{n} \cos 2k$. Я сначала рассматривал случаи $n=2N$ и $n=2N+1$, но ничего конкретного не получается. Подскажите пожалуйста.

[Sonic86]

Можно начать с попытки вычисления суммы $\sum \limits_{k=1}^{n} \cos 2k$.
Для ее вычисления есть 2 способа: через формулу Эйлера, либо через домножение на тригонометрическую функцию с последующим преобразованием произведения в сумму.

[RFZ]

Спасибо Sonic86, но сумму которую вы написали я считать уже научился. А как можно вычислить сумму $\sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^k \cos 2k$

[ИСН]

А если там не $\cos2k$, а 3, 4, вообще произвольное число - умеете?

[RFZ]

Да уважаемый ИСН думаю, что смогу.
Если у нас есть произвольная частичная сумма вида $\sum \limits_{i=1}^{n} \sin(a+ih)$, то для того чтобы ее упростить необходимо умножить ее на $\sin \frac{h}{2}$.

[ИСН]

В таком случае могу предложить три варианта, что делать с чередующимися знаками:
1. Сначала просуммировать только чётные, потом только нечётные.
2. Использовать факт, что $(-1)^k=\cos\pi k$.
3. Комплексная экспонента, и всё побоку.

[RFZ]

Я вот сейчас на бумажке вычислил сумму знакочередующейся суммы и у меня получился следующий результат:
$\sum \limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cos2k=\sum \limits_{k=1}^{\big[ \frac{n}{2} \Big]} \cos4k-\sum \limits_{k=1}^{\big[ \frac{n+1}{2} \Big]} \cos(4k-2)$

-- Пн окт 03, 2011 13:52:36 --

А что такое комплексная экспонента?

-- Пн окт 03, 2011 13:58:37 --

Мне понравился пункт 2, который вы предложили, т.е. $(-1)^k=\cos \pi k$

[ИСН]

Комплексная экспонента - это слишком обширная штука, чтобы здесь объяснять. Узнаете, значит, в своё время. А пока - раз нравится вариант 2, то и валяйте по нему.

[RFZ]

$\sum \limits_{k=1}^{n} (-1)^k \cos2k=\sum \limits_{k=1}^{\big[ \frac{n}{2} \Big]} \cos4k-\sum \limits_{k=1}^{\big[ \frac{n+1}{2} \Big]} \cos(4k-2)$
А то что я написал оно правильное уважаемый ИСН?

[ИСН]

Вроде да. Только у Вас правая скобка выше левой.

[RFZ]

Спасибо большое Вам за внимание и помощь.
А как сделать одинаковыми ?

[ИСН]

\big
\Big
- как их сделать одинаковыми?

[RFZ]

Не понял Вас ИСН.
Я обычно пишу \Big.

[ИСН]

Обычно да, но у левых скобок - не так.

[Полосин]

$(-1)^k\cos(kx)=\cos(ky)$, $y=x+\pi$.