нормальность подгруппы индекса 2 (костр. 58.3)

[ean]

Добрый день,
Нужно доказать, что любая подгруппа индекса 2 является нормальной.
Я понимаю, что задачка совсем простая, но не могу сообразить.
Пусть $H$ - подгруппа $G$, её индекс $2$, значит есть два разных класса смежности $xH$ и $yH$.
Чтобы $H$ была нормальной необходимо, чтобы $\forall x \in G$и $\forall h \in H$ выполнялось, что $xh=hx$. Предположим, что $\exists x \in G$, что $\forall h \in H, xh \ne hx$. Тогда $hx \in yH$, то есть $\exists g \in H$, что $hx = yg$.
Отсюда, мы, наверное, ожидаем получить, что $y \in xH$, но не понимаю как можно преобразованиями до этого дойти: $hx = yg \Leftrightarrow y = hxg^{-1} \Leftrightarrow \cdots ?$

[Sonic86]

ean в сообщении #488680 писал(а):

значит есть два разных класса смежности $xH$ и $yH$.

Причем даже $eH=H$ и $yH$. Используйте это.

ean в сообщении #488680 писал(а):

Чтобы $H$ была нормальной необходимо, чтобы $\forall x \in G$и $\forall h \in H$ выполнялось, что $xh=hx$. Предположим, что $\exists x \in G$, что $\forall h \in H, xh \ne hx$. Тогда $hx \in yH$, то есть $\exists g \in H$, что $hx = yg$.

Лучше доказывать, что $yHy^{-1}=H$.

(еще подсказки)

Поиск рулит!
topic46333.html
topic36855.html

[ean]

Sonic86 в сообщении #488685 писал(а):

Причем даже $eH=H$ и $yH$. Используйте это.
Лучше доказывать, что $yHy^{-1}=H$.

Спасибо. Два класса $xH$ и $H$, то есть $xH = G \setminus H$, т.е. $x \notin H$. Предполагаем, что $xhx^{-1} \notin H$, тогда $xhx^{-1} = xg \rightarrow x = g^{-1}h$ - противоречие.

Sonic86 в сообщении #488685 писал(а):

(еще подсказки)

Поиск рулит!
topic46333.html
topic36855.html

Извините

[Sonic86]

ean в сообщении #488696 писал(а):

Извините

Не за что извинятся Я просто показываю Вам, как Вы можете экономить свое время.

[bnovikov]

Уже было. См. тему "Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?"