Формулу 3 я не понимаю, можно вывести?
Разумеется, можно. Просто теорема косинусов евклидовой геометрии используется как определение скалярного произведения.
Разрешая это соотношение относительно скалярного произведения
и используя соотношение
получаем выражение для скалярного произведения
, которое используется как определение скалярного произведения для векторов, имеющих общее начало. Общий случай получается при использовании свойств скалярного произведения в евклидовом пространстве.
-- 30.09.2011, 15:47 --Не улавливаю различий. Как я понимаю, геометрия пространства Минковского - это полный аналог кинематики. В понятие динамики обычно включают ещё три закона Ньютона. В СТО оные имеют соответствующую интерпретацию.
Поясню на простом примере. Заряженная частица, движущаяся в заданном электрическом поле, обычно описывается в пространстве Минковского. В этом случае частица движется под действием силового поля, которое представляет собой отдельную фундаментальную сущность.
То же самое можно описать как свободное движение частицы в пятимерном пространстве Калуцы-Клейна, при этом заряд частицы представляет собой ее импульс вдоль дополнительного пятого измерения. В этом случае электромагнитное поле не является самостоятельной сущностью. Оно является просто свойством геометрии (пятимерного) пространства-времени.
Пространство-время Минковского однородно и изотропно. В нем можно написать законы сохранения, причем часть энергии-импульса достанется электромагнитному полю. При этом мы имеем две фундаментальных сущности: геометрию и э-м поле. Причем геометрия проста, а динамика (поле) довольно сложная констукция.
Пространство Калуцы-Клейна неоднородно, и в нем нельзя написать законы сохранения, но в нем только одна сущность: геометрия, (динамика тривиальна - свободное движение). Другими словами, динамика поглощена геометрией.
А теперь представьте себе, что у Вас много разных полей. Возможно ли все их включить в геометрию? Если это удастся, то Вы получите монистическую концепцию, в которой имеется только одна фундаментальная величина: мировая функция. Такой подход проще того, когда Вы берете простую геометрию и получаете много разных фундаментальных сущностей (полей), которые должны быть согласованы друг с другом. Согласование разных фундаментальных сущностей - это очнь сложная задача, которую непонятно как решать.
Если же Вы все возлагаете на мировую функцию, то Вам не надо ничего согласовывать. Нужно просто найти правильную мировую функцию, т.е. найти истинную геометрию пространства-времени. Я называю такой подход геометризацией физики.
Разумеется, при этом нужно знать геометрию во всей ее полноте. Эффективность подхода видна уже на примере построения геометрии. Если строить обобщенную геометрию по Евклиду, т.е. строить геометрию из трех блоков (точка, отрезок, угол), то Вы должны описать свойства блоков с помощью аксиом. После этого Вам нужно проверить совместность этих аксиом (чего практически никто не делает, и уже риманова геометрия оказывается непоследовательной). Кроме того Вам нужно доказывать многочисленные теоремы, причем для каждой новой обобщенной геометрии нужно повторять те же процедуры, но уже с другими аксиомами.
В случае физической геометрии Вы проводите построение геометрических объектов только один раз (для собственно евклидовой геметрии). Полученные в евклидовой геометрии рецепты построения геометрических объектов представляются в терминах мировой функции евклидовой геометрии. Эти рецепты используются для построения геометрических объектов в обощенных геометриях. Нужно просто заменить евклидову мировую на мировую функцию нужной обобщенной геометрии.
Экономия колоссальная! Я уж не говорю о том, что при этом можно получить (неаксиоматизируемые) геометрии, которые просто нельзя получить евклидовым методом.
), которая является половиной квадрата расстояния в физической геометрии (т.е. геометрии полностью, определяемой мировой функцией 
Например, откуда Вы знаете, что летящий мяч через секунду всё ещё "тот же самый"? Об этом ничего, кроме бытового здравого смысла, не свидетельствует. А если начать копаться в деталях, то выяснится, что за это время с мячом произошла куча внутренних изменений, так что он не совсем "тот же самый".
