Не получается найти собственный вектор.

[samuil]

Первый собственный вектор - нашел, второй не получилось.

Не получилось найти второй собственный вектор.

4) Найти собственные числа и собственные вектора.

$$\begin{pmatrix} 4 & -2 & -2\\ 1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Найдем собственные числа.

(Оффтоп)

$$\begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 & -2\\ 1 & 1-\lambda & -1\\ 1 & -1 & -1-\lambda \end{vmatrix}=0$$

$$\begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 & -2\\ 1 & 1-\lambda & -1\\ 1 & -1 & -1-\lambda \end{vmatrix}= (4-\lambda)\cdot \begin{vmatrix} 1-\lambda & -1\\ -1 & -1-\lambda \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & -1-\lambda \end{vmatrix}-2 \begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=$$

$$=(4-\lambda)[-(1-\lambda^2)-1]+2(-1-\lambda+1)-2(-1-1+\lambda)=(4-\lambda)(\lambda^2-2)-2\lambda+4-2\lambda=$$

=$$-\lambda^3+4\lambda^2-2\lambda -4=0$$ Характеристический многочлен

$\lambda_1=2$ ; $\lambda_2=1-\sqrt 3$ ; $\lambda_3=1+\sqrt 3$

1) Найдем собственный вектор $\vec x_1=\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \beta_1\\ \gamma_1 \end{pmatrix}$ для $\lambda_1=2$

(Оффтоп)

$$\begin{pmatrix} 4-\lambda_1 & -2 & -2\\ 1 & 1-\lambda_1 & -1\\ 1 & -1 & -1-\lambda_1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \beta_1\\ \gamma_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\ 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \beta_1\\ \gamma_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

В виде расширенной матрицы

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2& -2& -2&0\\ 1&-1& -1&0\\ 1&-1&-3&0\\ \end{array}\right)$$

Первая и вторая строчка - линейно зависимы (если первую разделить на 2, то она совпадет со второй)

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-1& -1&0\\ 1&-1&-3&0\\ \end{array}\right)$$

Вычтем из второй строчки - первую.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-1& -1&0\\ 0&0&-2&0\\ \end{array}\right)$$

Поменяем 2 и третий столбец местами

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-1& -1&0\\ 0&-2&0&0\\ \end{array}\right)$$

Выпишем в виде системы уравнений

$$\begin{cases} \alpha_1-\gamma_1-\beta_1=0\\ -2\gamma_1=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} \alpha_1-\beta_1=0\\ \gamma_1=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} \alpha_1=C\\ \beta_1=C\\ \gamma_1=0\\ \end{cases}$$

$$\vec x_1=\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \beta_1\\ \gamma_1 \end{pmatrix}=C\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$$

2) Найдем собственный вектор $\vec x_2=\begin{pmatrix} \alpha_2\\ \beta_2\\ \gamma_2 \end{pmatrix}$ для $\lambda_2=1-\sqrt 3$

Тут получилось, что строчки линейно независимы, ведь так быть не должно?

(Оффтоп)

$$\begin{pmatrix} 4-\lambda_2 & -2 & -2\\ 1 & 1-\lambda_2 & -1\\ 1 & -1 & -1-\lambda_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \alpha_2\\ \beta_2\\ \gamma_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3+\sqrt 3 & -2 & -2\\ 1 & \sqrt 3& -1\\ 1 & -1 & -2+\sqrt 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \alpha_2\\ \beta_2\\ \gamma_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 1 & \sqrt 3& -1&0\\ 1 & -1 & -2+\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

Из третьей строки вычтем вторую.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 1 & \sqrt 3& -1&0\\ 0 & -1-\sqrt 3 & -3+\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

Умножим вторую строку на $3+\sqrt 3 $

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 3+\sqrt 3 & 3+3\sqrt 3& -3-\sqrt 3&0\\ 0 & -1-\sqrt 3 & -3+\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

Вычтем из второй строчки первую

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 0 & 5+3\sqrt 3& -5-\sqrt 3&0\\ 0 & -1-\sqrt 3 & -3+\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

Умножим третью строчку на $1-\sqrt 3$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 0 & 5+3\sqrt 3& -5-\sqrt 3&0\\ 0 & 2 & -6+4\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

Разделим 3 строчку на 2

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 0 & 5+3\sqrt 3& -5-\sqrt 3&0\\ 0 & 1 & -3+2\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

Умножим 3 строчку на $5+3\sqrt 3$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 0 & 5+3\sqrt 3& -5-\sqrt 3&0\\ 0 & 5+3\sqrt 3 & 33+19\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

Вычтем из третьей строчки - вторую.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 0 & 5+3\sqrt 3& -5-\sqrt 3&0\\ 0 & 0 & 38+20\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

разделим третью строчку на 2

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 3+\sqrt 3 & -2 & -2&0\\ 0 & 5+3\sqrt 3& -5-\sqrt 3&0\\ 0 & 0 & 38+20\sqrt 3&0\\ \end{array}\right)$$

[ewert]

samuil в сообщении #487033 писал(а):

Тут получилось, что строчки линейно независимы, ведь так быть не должно?

Не должно. Однако если путать знаки при вычитаниях (а Вы это делаете не менее двух раз), то может и так выйти.

[samuil]

Ок, спасибо!