подгруппы группы симметрии

[ean]

Нужно описать все подгруппы группы симметрии правильного n-угольника.
Есть ли какой-нибудь формальный метод как это сделать?
В группе симметрии правильного $n$-угольника $2n$ элементов, $n$ вращений вокруг центра симметрии (на $\frac{2\pi}{n}i$, где $i=0\cdots n-1$) и $n$ отражений. В случае, если $n=2k$, то $\frac{n}{2}$ осей проходящих через противоположные стороны многоугольника и $\frac{n}{2}$ осей, проходящих через противоположные вершины многоугольника. Если $n=2k+1$, то $n$ осей, проходящих через вершину и противоположную сторону многоугольника.
Подгруппы порядка 2 - это единица (вращение на 0) и любое из отражений (отражение на само себя - это единица). А дальше сложнее. Например, для квадрата можно выделит подгруппы из 4ёх элементов (единица и вращение на $\frac{\pi}{2}$ и пара отражений под прямым углом (например, для осей AC и BD). Наверное, отсюда можно предположить, что для любого $n$ угольника с чётным числом вершин подгруппами будут вращения на $\frac{2\pi}{n}ti$, где $t$ - делитель n, а $i=0\cdots \frac{n}{t}-1$ и те же вращения с отражениями, оси которых находятся под углом $\frac{2\pi}{n}t$.
Какие ещё подгруппы могут быть?

[ИСН]

ean в сообщении #487164 писал(а):

для любого $n$ угольника с чётным числом вершин подгруппами будут вращения на $\frac{2\pi}{n}ti$

Почему только с чётным-то? Группа треугольника к 9-угольнику разве не подойдёт?

[ean]

ИСН в сообщении #487170 писал(а):

Группа треугольника к 9-угольнику разве не подойдёт?

Я как раз думал о нечётных, там похоже то же самое. Вообще спасибо за эту фразу, кажется, я понял. Подгруппы группы симметрии $n$-угольника - это группа симметрии $k$-угольника, где $k$ делитель $n$

[Null]

Еще есть просто группы поворотов.

[bnovikov]

ean в сообщении #487164 писал(а):

Нужно описать все подгруппы группы симметрии правильного n-угольника.
Есть ли какой-нибудь формальный метод как это сделать?

Отвлекитесь от геометрии и рассматривайте Вашу группу как абстрактную группу диэдра.

[ean]

Кстати, я правильно понимаю, что для группы $S_4$ (её порядок 24) её подгруппами будут группы диэдра порядка $2, 3, 4, 6, 8, 12$?

[ИСН]

Да, да, надо смотреть, надо смотреть, нет, нет.

-- Чт, 2011-09-29, 16:01 --

8 - потому что в ней 16 элементов, а это не делитель 24.
12 - потому что это 24, то есть только сама $S_4$, а она явно не подходит.

-- Чт, 2011-09-29, 16:03 --

"Порядком" группы диэдра можно называть как n (в геометрическом смысле), так и 2n (в смысле групповом). Видя в Вашем списке цифру 3, я склонился к первой интерпретации.

[ean]

ИСН в сообщении #487653 писал(а):

в геометрическом смысле

да, насчёт тройки я не прав.
у $S_4$ порядок $24$, значит её подгруппы имеют порядки $2, 3, 4, 6, 8, 12$, если исключаем тройку, а смотрим только подгруппы чётных порядков, то я предположил, что все подгруппы - это $D_1, D_2, D_3, D_4, D_6$. Это правильно?

[patzer2097]

ean в сообщении #487664 писал(а):

у $S_4$ порядок $24$, значит её подгруппы имеют порядки $2, 3, 4, 6, 8, 12$, если исключаем тройку, а смотрим только подгруппы чётных порядков, то я предположил, что все подгруппы - это $D_1, D_2, D_3, D_4, D_6$. Это правильно?

$D_6$ не будет подгруппой, потому что в $S_4$ нет элементов порядка $6$. Зато есть много других подгрупп, например, порожденная $(12)$ и $(34)$, она изоморфна $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$

[ИСН]

$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$ - это и есть $D_2$.