Вычислить предел

[Maestro51]

Всем доброго времени суток. Огромная просьба объяснить как вычисляется данный предел:

$$\lim\limits_{x\to0}(1-\ln(1+\sqrt[3] x))^\frac{\arcsin x}{\sqrt[3] x^4} $$

уже 2 часа сижу, не знаю как правильно сделать, я пытался использовать второй замечательный предел, но ответ так и не получил.Объясните пожалуйста как решить этот предел.Заранее спасибо!

[Dan B-Yallay]

Maestro51 в сообщении #487522 писал(а):

Всем доброго времени суток. Огромная просьба объяснить как вычисляется данный предел:

$$\lim\limits_{x\to0}(1-\ln(1+\sqrt[3] x))^\frac{\arcsin x}{\sqrt[3] x^4} $$

уже 2 часа сижу, не знаю как правильно сделать, я пытался использовать второй замечательный предел, но ответ так и не получил.Объясните пожалуйста как решить этот предел.Заранее спасибо!

Покажите что у Вас там по второму замечательному получилось.

-- Ср сен 28, 2011 15:17:19 --

А вообще попробуйте воспользоваться

$$f(x)^{g(x)}= \Big(e^{\ln f(x)}\Big)^{g(x)}=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$$

[Joker_vD]

Причем, чтобы не ломать себе глаза, советую пользоваться записью $\exp(g(x)\cdot\ln f(x))$

[Maestro51]

сначала я использую первый замечательный предел:$\lim\limits_{x\to0}(\frac{\arcsin x}{x})=1$ в итоге получается:
$\lim\limits_{x\to0}(1-\ln(1+\sqrt[3]x))^{1\cdot\infty}$
выражение под знаком логарифма стремится к 1,значит сам логарифм стремится к 0, а всё выражение в скобках стремится к 1, вот и получается, что 1 в степени $\infty$. По идее если выражение в скобках стремится к 1, а степень стремится к бесконечности, то это и есть второй замечательный предел, который равен $\exp$.Но с другой стороны $1\cdot\infty$ это неопределённость и скорее всего я не могу просто написать$ \infty$.

[Dan B-Yallay]

Понятно. Попробуйте перейти к экспоненте как я предлагаю, а затем пощупайте Лопиталем.

[Maestro51]

Огромное спасибо за помощь.После перехода к экспоненте всё стало гораздо легче $e^\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+\sqrt[3]x)}{\sqrt[3]x}$
После применения правила Лопиталя получается $e^\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{1+\sqrt[3]x}$, что в итоге равняется $ \exp$
Просьба исправить меня, где я не прав.

[Dan B-Yallay]

Покажите применение Лопиталя. Мне кажется у Вас там что-то не в порядке.

[Maestro51]

$e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{-\ln(1+\sqrt[3]x)}{\sqrt[3]x}} = e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{-(\sqrt[3]x)'}{(1+\sqrt[3]x)\cdot(\sqrt[3]x)'}} = e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{-1}{(1+\sqrt[3]x)}} = e^\frac{-1}{1} = e^{-1} $
Прошу прощения, не $e^1$, а $e^{-1}$ получается.

[ewert]

Только Лопиталь тут совершенно ни к чему: после замены $t=\sqrt[3]{x}$ получается общеизвестный вариант второго замечательного предела.

[Maestro51]

И в правду ,если заметить 2 замечательный предел, всё решается ещё быстрее)))
Всем огромное спасибо за помощь.