Quadrilateral and perpendiculars

[ins-]

Let quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle. $E$ is the intersection point of $AD$ and $BC$. $K$ and $L$ are the feets of perpendiculars from $E$ to $AB$ and $CD$. $M$ and $N$ are the middles of diagonals $AC$ and $BD$. $P$ is the intersection point of $KL$ and $MN$. Prove that $KL\bot MN$ and $KP=LP$.

[Liouville]

Пусть F - точка пересечения AB и CD. R - середина EF. Тогда точки M, N, R лежат на прямой Гаусса. Она перпендикулярна прямой Обера, проходящей через ортоцентры X и Y треугольников АВЕ и CDE. Окружность $\omega$ с диаметром ЕF содержит точки K и L. EL/EY=EK/EX в силу подобия треугольников АВЕ и CDE. Поэтому XY параллельно KL, следовательно KL перпендикулярна MN. Также, МN- перепендикуляр к хорде KL Окружности $\omega$, проходящий через ее центр R. Поэтому он делит пополам эту хорду.

[ins-]

Thank you very much! You can see a solution based on well known facts at:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9#p2450419