неподвижные точки

[Liouville]

Функция g(x) имеет 2 неподвижные точки. Функция g(g(x)) имеет 4 неподвижные точки. Доказать, что не существует такой функции f(x), что g(x)=f(f(x)).

[nnosipov]

Функции где определены? Точно сформулируйте задачу.

[Liouville]

$g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

[nnosipov]

А функция $f$?

[Liouville]

Ну, f тоже из R в R. Это и из g(x)=f(f(x)) ясно.
Ребят, к чему с таким формализмом на все глядеть?=)

[nnosipov]

Liouville в сообщении #486518 писал(а):

Это и из g(x)=f(f(x)) ясно.

Ни черта не ясно. Функция $f$ могла бы быть и комплекснозначной.

Liouville в сообщении #486518 писал(а):

Ребят, к чему с таким формализмом на все глядеть?

Для того, чтобы знать, в каком именно стогу сена доказывать отсутствие иголки. Привыкайте к точности в формулировках, иначе может быть как в другой Вашей теме.

[Liouville]

Да, я не прав. Простите.

[Liouville]

А это утверждение оказалось и вовсе очевидным. Прошу прощения, если потревожил Ваши умы по такому пустяку.

[mihiv]

Предположим,что $f$ непрерывная функция $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$,докажем сначала следующее утверждение:Если функция $g(x)=f(f(x))$ имеет хотя бы одну неподвижную точку (н.т.),не являющуюся н.т. функции $f$,то общее число н.т. функции $g(x)$ больше или равно 3.
Прежде всего ясно,что любая н.т. функции $f$,является также н.т. функции $g$.
Пусть теперь $a$ н.т. функции $g$,не являющаяся н.т. функции $f$ т.е.

$$g(a)=f(f(a))=a\qquad (1),\text {и}f(a)=b\neq a\qquad(2)$$

С помощью $(2)$ равенство $(1)$ перепишем в виде

$$f(b)=a\qquad (3)\text {откуда}f(f(b))=b\qquad (4)$$

Таким образом $b=f(a)$ также является н.т. функции $g(x)$.
Геометрически равенства $(2),(3)$ означают,что график функции $f(x)$,проходит через точки $(a,b)$ и $(b,a)$ зеркально симметричные относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов,а т.к. функция $f$ непрерывна,то её график пересекает биссектрису в некоторой точке с координатами $(c,c)$.Таким образом $x=c$-н.т. функции $f$,а следовательно и функкции $g$.Т.е. 3 точки $a,b,c$-это н.т. функции $g$.Ч.т.д.
Т.к. по условию функция $g(x)=f(f(x))$ имеет две неподвижные точки(обозначим их $a$ и $b$),то из доказанного выше следует,что обе они являются н.т. функции $f$.
Введем очевидные сокращенные обозначения для суперпозиций одинаковых функций:например,$f_2(x)\equiv f(f(x))$,т.е.$g(x)=f_2(x),g_2(x)\equiv g(g(x))\equiv f_4(x)$ и т.д.
По условию $g_2(x)$ имеет 4 н.т.,то есть кроме н.т. $a$ и $b$ функции $f$ есть еще пара н.т. обозначим их $c$ и $d$.Выполнены равенства

$$g_2(c)\equiv f_4(c)=c\qquad (4)\text {и} g_2(d)\equiv f_4(d)=d\qquad (5)$$

Из (4) следует

$$f_5(c)\equiv g_2(f(c))=f(c)\qquad (6)$$

Т.е.$f(c)$ также н.т. функции $g_2(x)$ и поэтому равна одной из 4-х н.т. $a,b,c,d$
Это не могут быть точки $a$ и $b$,т.к. в этом случае было бы $f_4(c)=a\text {или}b$,что противоречит (4) и (5),не может быть также $f(c)=c$,т.к. $c$ не является н.т. функции $f$,остается $f(c)=d$,аналогично получим $f(d)=c$.
Но тогда $g(c)=f(f(c))=f(d)=c$,т.е. $c$-это н.т. функции $g$,но $g$ имеет только 2 н.т.:$a$ и $b$.Получили противоречие.

[Liouville]

Это для любых $f, g$ так, не обязательно непрерывных. Лишь бы с одной областью определения.

[mihiv]

Да,Liouville,я понял: если $f$ не непрерывная,то надо будет ещё рассмотреть случай когда функция $g(x)$ имеет две н.т.,которые не будут н.т. для функции $f(x)$.Но это принципиально ничего не меняет:также $f(c)$ оказывается н.т. функции $g(g(x))$,точно также получаем,что должно быть $f(c)=d,f(d)=c$ и приходим к противоречию.