Исследовать функцию на экстремумы, ф-ия Лагранжа

[kkatyukha]

Здравствуйте!

Такая вот задачка:
$Ax^2+2Bxy+Cy^2 \to extr$, $x^2+y^2=1$

Мое решение:

Составляем ф-ию Лагранжа:
$L(x,y,\lambda)=Ax^2+2Bxy+Cy^2-\lambda(x^2+y^2-1)$
Находим частичные производные, приравниваем их к 0, составляем систему:
$Ax+By-\lambda x=0$
$Bx+Cy-\lambda y=0$
$x^2+y^2=1$

Из первых двух уравнений для $\lambda$ получается такое уравнение:
$(C-\lambda)(A-\lambda)-B^2=0$
Пусть корнями будут $\lambda_{1}, \lambda_{2}$
Дальше я находила $x, y$, подставляю в исходную функцию и у меня получилось что-то невнятное и громоздкое..

Хотя ответ довольно простой:
$(A-\lambda)(C-\lambda)-B^2=0 S_{\min}=\lambda_{1} S_{\max}=\lambda_{2}$

Такое уравнение получилось, а как у них получаются такие минимальное и максимальное значения мне не понятно((( и в ответе не написаны экстремальные точки, хотя в другим номерам они даны..

Объясните, пожалуйста)

Спасибо!

[alisa-lebovski]

Ход решения описан правильно, значит, эти громоздкие выражения, которые возникают по ходу, должны упроститься. Двум значениям лямбды соответствуют максимум и минимум.

[мат-ламер]

kkatyukha. Не знаю, поможет ли Вам это или нет, но Ваша задача эквивалентна нахождению собственных значений и собственных векторов единичной длины для симметричной матрицы 2х2. Собственные значения - это оптимальные множители Лагранжа - они же - экстремумы кв. формы на окружности.

[Shadow]

Извините, если я совсем не о том, но если поставит $x=\sin(t)$, $y=\cos(t)$
придется исследовать $A+C+B\sin(2t)$ .
Да какие так косинусы, наверное точно не понимаю задачу

[alisa-lebovski]

Shadow в сообщении #486957 писал(а):

Извините, если я совсем не о том, но если поставит $x=\sin(t)$, $y=\cos(t)$
придется исследовать $A+C+B\sin(2t)$ .

Нет, если $A$ и $C$ не равны.

[Shadow]

alisa-lebovski в сообщении #486960 писал(а):

Shadow в сообщении #486957 писал(а):

Извините, если я совсем не о том, но если поставит $x=\sin(t)$, $y=\cos(t)$
придется исследовать $A+C+B\sin(2t)$ .

Нет, если $A$ и $C$ не равны.

Порою действительно сильно туплю :D

[edd_k]

Здравствуйте!

Задание дословно:
"Используя метод мн. Лагранжа найти экстремумы функции ... при условии, что ..."

Выписал функцию Лагранжа. Составил необходимое условие и нашел 3 стационарных точки:


Что дальше? Вот везде в интернетах пишут очевидное "это лишь необходимые, но не достаточные условия". Оговариваются, что в принципе можно вывести и достаточные, но нигде их нет. Т.е. во всех примерах показан только этот этап, после чего считаются значения в этих точках и привет!

Из задания тоже не ясно, требуется ли продолжать. Было бы четко сказано - найти подозрительные на экстремум точки - ладно. А так...

Что же за условия, основанные на вторых частных производных, использовать для проверки?
Для функции двух переменных все просто. Но у нас то функция трех переменных. Это что, составлять определитель 3х3 из вторых производных и находить его? А как потом определять минимум/максимум?

Или же выкладки в таком случае настолько длинные, что никто этого не делает и не просит делать, а я пытаюсь влезть куда не просят?

[мат-ламер]

Условия второго порядка в принципе есть. Возможно их нет в тех "интернетах", где Вы до сих пор смотрели. А в нормальных учебниках они есть. В этой задаче можно без них обойтись. Попробуйте для начала сами прикинуть как.