Решение уравнения Пфаффа вдоль заданной кривой.

[Jnrty]

Jnrty:

sergei1961, прекращайте offtopic. Вам ответили, что определение функции существует, и оно является достаточно строгим, что признано мировым математическим сообществом. А обсуждение вопросов преподавания здесь неуместно.

Отвечать мне не надо.

[evgeniy]

Я сказал, что ошибка такого определения функции велика. $o(1)^2= a/(\Delta x)^2,\Delta x \to 0$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #486659 писал(а):

Я сказал, что ошибка такого определения функции велика. $o(1)^2= a/(\Delta x)^2,\Delta x \to 0$

Здесь нет определения функции.
Вы безнадежно путаете определение (задание) функции и ее приближенное (или асимптотическое) выражение.

Если вы намерены поменять основы математики, изменив общепринятое понятие функции, то перепишите для своего понятия весь анализ, а потом возвращайтесь и демонстрируйте пользу. До тех пор -- безграмотные измышления.

[evgeniy]

Я несколько напутал, дело в том, что в данном примере $\Delta x=1$, а не $\Delta x \to 0$.
Я естественно не в силах изменить математический анализ. Но это не требуется.
При определении функции
$U(x,y,x_0,y_0)=f(x,y,x_0,y_0)+o(x-x_0)^2+o(y-y_0)^2+o[(x-x_0)(y-y_0)]$
при условии $x=x_0,y=y_0$ получим классическую функцию четырех переменных
$U(x,y,x_0,y_0)=f(x,y,x_0,y_0)$
с этой функцией надо производить классические действия над четырьмя переменными $x,y,x_0,y_0$ такие как взятие интеграла, дифференцирование. Причем одинаковые операции над первыми двумя аргументами, и третьими и четвертыми переменными. После этого необходимо воспользоваться определением функции, полагая третью и четвертую переменные константе и получим решение в окрестности констант.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #486804 писал(а):

При определении функции
$U(x,y,x_0,y_0)=f(x,y,x_0,y_0)+o(x-x_0)^2+o(y-y_0)^2+o[(x-x_0)(y-y_0)]$

Это не определение функции U. Вообще, не определение функции.
Функция $f(x,y,x_0,y_0)$ появилась у Вас впервые, и неизвестно, что это такое.

[evgeniy]

Эта функция была в первоначальном выражении.
$U(x,y,x_0,y_0)=U(x_0,y_0)+A_x^0 (x-x_0)+B_y^0(y-y_0)+o(x-x_0)^2+o(y-y_0)^2+o[(x-x_0)(y-y_0)]\eqno(0)$
Какие сложности могут встретиться если определять функцию алгоритмом
$U(x,y,x_0,y_0)=f(x,y,x_0,y_0)+o(x-x_0)^2+o(y-y_0)^2+o[(x-x_0)(y-y_0)]$
используя точное значение функции при условии $x=x_0,y=y_0$ используя значение функции $f(x,y,x_0,y_0)\eqno(1)$. при этом действия с этой функцией должны быть одинаковы с перым и третьим аргументом, и со вторым и четвертым. Т.е. если берется интерал по dx в пределах [a,x], то долже браться интеграл по $dx_0$ в пределах $[a,x_0]$. если функция (1) дифференцируется x, то она должна дифференцироваться и по $x_0$. Таким образом образуется другая функция $g(x,y,x_0,y_0)$, которую тоже можно представить в виде (0). Формулы, если участвует функция $f(x,y,x_0,y_0)$ нелинейным образом и берется интеграл по x должны содержать и интеграл по $x_0$ . Т.е. формулы подвергнутся некоторой модификации.
Вопрос к shwedka, какие особенности могут возникнуть при таких действиях с функцией (1)? Я не вижу особенностей, но все же задаю вопрос.

[Kallikanzarid]

evgeniy
А как вы себе представляете дифференцирование ваших "функций"? Рассмотрим банахово пространство непрерывных функций из $[-\pi, \pi]$ в $\mathbb{R}$ с нормой равномерной сходимости.

Утверждение: для любого $C > 0$ и для любого $\varepsilon > 0$ найдется непрерывная дифференцируемая функция $f: [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$ такая, что $\|f\| < \varepsilon$ и $\|Df\| > C$.
Доказательство: Рассмотрим функции вида $f_\alpha(x) = \frac{\varepsilon}{2}\sin(\alpha x)$. Имеем $D f_\alpha(x) = \frac{\alpha \varepsilon}{2}\cos(\alpha x)$. Но тогда $\|D f_\alpha(x)\| = D f_\alpha(0) = \frac{\alpha \varepsilon}{2} > C$, откуда $\alpha > \frac{2 C}{\varepsilon}$. Положив $\alpha = \frac{4 C}{\varepsilon}$, получим искомую функцию.

Из этого утверждения видно, что если ваши "функции" сколько-нибудь похожи по смыслу на окрестности непрерывных функций, то вы можете оставить надежду сколь-нибудь вменяемым образом определить для них дифференцирование.

Нужно заметить, что так просто все только для компактных подмножеств $\mathbb{R}^n$ (с неизбежными накладками на границах, хотя ИМХО в большинстве случаев нас выручит доопределение там производной по непрерывности), но ИМХО с помощью известных теорем о гомотопиях римановых многообразий аналогичный результат можно получить и для любого дифференцируемого многообразия (благодаря паракомпактности), что уже очень сильно.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #486926 писал(а):

если определять функцию алгоритмом
$U(x,y,x_0,y_0)=f(x,y,x_0,y_0)+o(x-x_0)^2+o(y-y_0)^2+o[(x-x_0)(y-y_0)]$

Функция $f(x,y,x_0,y_0)$ нигде ранее не встечалась. Что это такое? Дайте формулу или прямое описание
.

Цитата:

если определять функцию алгоритмом

Эта формула не определяет функцию.

evgeniy в сообщении #486926 писал(а):

Вопрос к shwedka, какие особенности могут возникнуть при таких действиях с функцией (1)? Я не вижу особенностей, но все же задаю вопрос.

Начать да кончить. Пока что размахивание руками. Для обычных функций теорию дифференцирования и интегрирования меньше, чем на сотне страниц, не изложить. Постройте анализ для ВАших нефункций, тогда продолжим разговор. Пока что чепуха.

У функции должно быть значение. Число!!!

И на дальнейшее. Вы хотите построить функцию в окрестности заданной кривой. Для этого непригодны формулы, которые содержат неведомое $x_0,y_0$. 'Pешение' должно быть функцией только от $x,y$. То есть, Вы можете описать алгоритм вычисления $U(x,y)$, например, так, что для данной точки $x,y$ вы по какому-то правилу определяете точку $x_0,y_0$ на кривой (ну, например, ближайшую к $x,y$ точку на кривой) и потом писать формулу с 4 переменными.

Но никаких $O, o$ в этой формуле. Как только Вы написали $O, o$, немедленно это перестает быть определением функции.