интегрирование в Maple

[ExmorR]

При расчете получилось следующее:
G1 := 2.*cos(RootOf(1250000000*sin(x)*_Z-75442023*sin(x)*Pi-1250000000*x*cos(_Z)))/sin(x)

Эта кривая, видимо имеет разрывы, но на них не нужно обращать внимание (рассматривать как сплошную кривую)

http://imagepost.ru/?v=stddikzfjgndmsoy ... lxunpv.JPG

Как правильно найти площадь над кривой???
что-то типа evalf(Int( G1, x=1,73..3,14....)????
Пределы интегрирования нужно задавать вручную наверно, посмотрев на график?

[Klad33]

ExmorR в сообщении #486757 писал(а):

G1 := 2.*cos(RootOf(1250000000*sin(x)*_Z-75442023*sin(x)*Pi-1250000000*x*cos(_Z)))/sin(x)

График такой у меня вышел:



Теперь либо аппроксимировать, чтобы бесконечности не мешали, либо со специалистами из exponenta.ru посоветоваться.

Например, получить массив чисел x и G1 по командам:

for x from .1 to 4 by .1 do print(x,evalf(G1));od:
Получим: x G1
0.1, 13.21575416
0.2, 6.626758029
0.3, 4.438873148
0.4, 3.351328306
0.5, 2.703988551
0.6, 2.276824438
0.7, 1.975550295
0.8, 1.753033614
0.9, 1.583097976
1.0, 1.450044008
1.1, 1.343885966
1.2, 1.257969787
1.3, 1.187690245
1.4, -4.005917167 + 2.095941916 I
1.5, -3.760370125 + 1.866071563 I
1.6, 1.041875843
1.7, 1.008719193
1.8, 0.9811970776
1.9, 0.9584394316
2.0, 0.9397393992
2.1, 0.9245122432
2.2, 0.9122653743
2.3, 0.9025761531
2.4, -2.918029726
2.5, 0.8894338872
2.6, 0.8853543364
2.7, 0.8825621604
2.8, 0.8808003829
2.9, 0.8798247022
3.0, 0.8793996702
3.1, 0.8792954878
3.2, 0.8792852697
3.3, 0.8791430524
3.4, 0.8786421183
3.5, 0.8775541521
3.6, 0.8756496404
3.7, 0.8726997421
3.8, 0.8684804456
3.9, 0.8627795331
4.0, 0.8554067579
Убираем точки, попавшие в разрыв, аппроксимируем оставшиеся гладкие точки (полиномом или подходящей зависимостью) и берем от нее интеграл.

[ExmorR]

Klad33 в сообщении #486761 писал(а):

ExmorR в сообщении #486757 писал(а):

G1 := 2.*cos(RootOf(1250000000*sin(x)*_Z-75442023*sin(x)*Pi-1250000000*x*cos(_Z)))/sin(x)

График такой у меня вышел:

........

Теперь либо аппроксимировать, чтобы бесконечности не мешали, либо со специалистами из exponenta.ru посоветоваться.

Это правильно, но посмотри у меня, какой диапазон нам ВАЖЕН(на моём рисунке)

[Klad33]

Ну, выбирай из полученной мной таблицы именно эти точки. Даже сейчас таких точек 16 (исключая точку x=2.4). А можно же еще подробней распечатать. Зато кривая очень гладкая, достаточно и кубического уравнения, по-видимому.
Вот ваш участок, который нужно аппроксимировать:



Как говорится - делать нечего!
Приближенно можно даже вручную площадь найти методом прямоугольников или трапеций. Но лучше, конечно, аппроксимировать кубической функцией и с ней работать.

[ExmorR]

вот получил функцию:

http://radikal.ru/F/i071.radikal.ru/110 ... 5.jpg.html

потом площадь Над кривой:

> int(int(-0.00005*(x^3)+0.0021*(x^2)-0.0281*x+1.0069, x=1.73..3.1415), y=0.879..1);

0.1623338906

правильно ли получилось?

[Klad33]

А я своим методом получил:

G1 := -0.0771223*x^3+0.659317*x^2-1.88917*x+2.69631;

Что значит площадь над кривой? Если взять просто определенный интеграл этой функции от 1,73 до 3,1415, то у меня получилось
> S := int(G1, x = 1.73 .. 3.1415);
1.281382619

Это я аппроксимировал функцию в диапазоне х от 1,3 до 3.1415
Сейчас уточняю для более узкого диапазона - от 1,7 до ПИ. Точность на порядок выше будет. Погоди 5 минут...

[ExmorR]

и последнее что нужно сделать:

вот рисунок:


Оранжевая кривая это то что получили
y= -0.00005*(x^3)+0.0021*(x^2)-0.0281*x+1.0069 (вроде правильно?)

формула Z -- поверхность см. рисунок
как в Maple запрограммировать, чтобы найти объём ?
Основание - это площадь оранжевая площадь, а сверху она накрывается поверхностью Z.

[Klad33]

То есть нужно по сути взять тройной интеграл. Правильно я понял?

Вот мои уточнения функции:

G1:= -0.0554852*x^3 + 0.499576*x^2 - 1.50404*x + 2.39376;
>
> S := int(G1, x = 1.73 .. 3.1415);
1.281683621

[ExmorR]

Klad33 в сообщении #486788 писал(а):

То есть нужно по сути взять тройной интеграл. Правильно я понял?

да но что-то я не догоню как правильно это всё собрать...воедино...и пределы для Z какие?

-- 27.09.2011, 13:32 --

Klad33 в сообщении #486788 писал(а):

То есть нужно по сути взять тройной интеграл. Правильно я понял?

Вот мои уточнения функции:
3 2
-0.0554852 x + 0.499576 x - 1.50404 x + 2.39376
>
> S := int(G1, x = 1.73 .. 3.1415);
1.281683621

мне кажется вы не ту площадь считаете ...нужно НАД кривой....двойной интеграл,наверно..посмотрите как у меня или так нельзя?)))

[Klad33]

Да, я понял что не тот интеграл. Но нам он не нужен. Главное это уравнение кривой. Она нам понадобится для тройного интеграла. Я давно уж не брал тройные интегралы, но это достаточно просто ...

Наружный интеграл - изменение x от 1,73 до ПИ
Средний интегра изменение y от функции G1 до 1
И самый внутренний интеграл - изменение z от 0 до экспоненты.

$\int \limits_{1.73}^{\pi} dx \int \limits _{G1}^{1} dy \int \limits _{0}^{exp(-0.3(y-0.2)(x/y))} dz $

Если конечно ничего не липанул

[ExmorR]

Klad33 в сообщении #486794 писал(а):

$\int \limits_{1.73}^{\pi} dx \int \limits _{G1}^{1} dy \int \limits _{0}^{exp(-0.3(y-0.2)(x/y))} dz $

Если конечно ничего не липанул

вроде пределы правильные, но как это будет выглядеть в Maple?
int(int(int(?, x=1.73..3.1415),y=G1..1),z=0..exp(-0.3*(y-0.2)*(x/y))); так чтоли, а Z к чему прилепить?

[Klad33]

Интеграл от dz будет просто z. Нужно далее подствить пределы: сперва верхний (экспоненту), затем вычесть нижний, то есть 0. Потом взять средний интеграл, принимая x за константу и подставить пределы. И , наконец, последний. В руководстве по Maple должны быть примеры. Но проще брать все вручную, используя Maple. То есть делать вычисления не одной строкой, а тремя отдельными шагами.

[ExmorR]

G1:= -0.0554852*x^3 + 0.499576*x^2 - 1.50404*x + 2.39376;

$\int \limits_{1.73}^{\pi} \int \limits _{G1}^{1} \int \limits _{0}^{exp(-0.3(y-0.2)(x/y))} z dz dy dx $ , если такая запись верна ( по Z) то

Результат: 0.01950763444

[Klad33]

Правильность вычисленного объема следует проверить так. Найти площадь фигуры, ограниченной линией G1, и внутри ее найти множество (можно даже случайных значений z. Среднее значение Z , умноженное на площадь, скорее всего должно быть порядка 0,01-0,03. Если будет так, то результат 0.01950763444 верный.
Почему у Вас в последнем интеграле z dz ? Должно же быть просто dz.

Я сделал прикидки по среднему значению z для выбранного элемента объема (рассмотрел 18 точек ) и получил $z_{sr}\approx 0.5393$
Площадь же нашей фигуры

$S=1(\pi-1.73)-1.28168362=0.129909$

Тогда объем: $V \approx 0.5393 \cdot 0.129909=0.07006 $

Ваш результат в 3 с лишним раза меньше. Я думаю, у Вас ошибка. Скорее всего в том, что указал выше.

Вот z по 18 точкам:

n__ x__ y__ z
================
1__ 1.73__ 1__ 0.660
2__ 2__ 0.94__ 0.624
3__ 2.5__ 0.89__ 0.559
4__ 2.8__ 0.88__ 0.523
5__ Pi __ 0.879__ 0.483
6__ Pi__ 1__ 0.470
7__ 2 __ 1__ 0.619
8__ 2.5__ 1__ 0.549
9__ 2.8__ 1__ 0.511
10__ 2.1__ 0.95__ 0.608
11__ 2.4__ 0.95__ 0.566
12__ 2.8__ 0.95__ 0.515
13__ 3__ 0.95__ 0.491
14__ Pi__ 0.95__ 0.475
15__ 2.5__ 0.9__ 0.558
16__ 2.8__ 0.9__ 0.520
17__ 3__ 0.9__ 0.497
18__ Pi__ 0.9__ 0.480

[Klad33]

Получилось так:

v := Int(Int(Int(1, z = 0 .. exp(-(.3*(y-.2))*x/y)), y = -0.554852e-1*x^3+.499576*x^2-1.50404*x+2.39376 .. 1), x = 1.73 .. 3.1415926) = int(int(int(1, z = 0 .. exp(-(.3*(y-.2))*x/y)), y = -0.554852e-1*x^3+.499576*x^2-1.50404*x+2.39376 .. 1), x = 1.73 .. 3.1415926);

Результат V:=0.07092816088
Все вернооооо!!!!

Площадь S таким образом правильно вычисляет:

S:=Int(Int(1, y = -0.554852e-1*x^3+.499576*x^2-1.50404*x+2.39376 .. 1), x = 1.73 .. 3.1415926) = int(int(1, y = -0.554852e-1*x^3+.499576*x^2-1.50404*x+2.39376 .. 1), x = 1.73 .. 3.1415926);

Результат: S:=0.1298275927

Так что задача решена верно.