Сходимость ряда

[RFZ]

Нужно исследовать на сходимость такой ряд:
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\ln^2\Big(\sin \frac{1}{n} \Big)}$
Для любого натурального $n$ мы имеем $\sin \frac{1}{n}<2$
$\dfrac{1}{\ln^2\Big(\sin \frac{1}{n} \Big)}>\dfrac{1}{\ln^2 2}$
Но ряд $ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\ln^2 2}$ расходится. А значит $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\ln^2\Big(\sin \frac{1}{n} \Big)}$ он также расходится.
Скажите пожалуйста я правильно рассуждаю?

[Vince Diesel]

Нет, $\sin \frac1n\sim 1/n$ при $n\to\infty$, а логарифм $1/n$...

[ewert]

RFZ в сообщении #486498 писал(а):

Скажите пожалуйста я правильно рассуждаю?

Неправильно -- направление неравенства в определённый момент перепуталось (угадайте, в какой). И заведомо оценка выглядит чересчур грубой: очевидно, что надо заменить синус на эквивалентное выражение.