Максимальное значение минимальной вероятности

[tess]

Имеется три рулетки, каждая разделёна на три равных сектора, например, с числами: рулетка А 8-6-3, Б 7-5-5, В 9-4-4. Рулетка А выигрывает у Б с вероятностью 5/9, Б выигрывает у В с вероятностью 6/9, В выигрывает у А с вероятностью 5/9. Минимальная вероятность здесь 5/9. Каково наибольшее возможное значение минимальной вероятности при таких условиях? Здесь я знаю, как найти ответ.
Легко подобрать соответствующие числа на гранях трёх кубиков для получения тех же результатов. В книге я прочитал, что наибольшее возможное значение минимальной вероятности в этом случае равно «золотому сечению»
$\frac{ \sqrt{5}-1}{2 }$. Какова идея доказательства?

[Cash]

Что-то не верится про кубики и золотое сечение. По любому здесь результат вида $k/36$. Может имеется в виду верхняя грань для трех рулеток с $N$ секторами?

[tess]

Нет, там приводятся три (китайских) кубика 6-6-2-2-2-2, 5-5-5-5-1-1, 4-4-4-3-3-3. Минимальная вероятность в этом случае 20 к 36. Говорится, что для других кубиков можно достичь минимума, равного золотому сечению. Далее, что для растущего числа кубиков этот минимум тоже увеличивается и приближается к пределу в 0,75.

[ИСН]

Каких "других"? У которых по семь с половиной граней, что ли? Если у нас кубики в обычном понимании, т.е. имеющие шесть равноправных граней, на которых написаны какие-то числа, а любое действительное число либо больше, либо меньше любого другого (ну ладно, ещё бывает равно, но это редко), то -

tess в сообщении #486380 писал(а):

По любому здесь результат вида $k/36$.

[tess]

Других - это значит, что имеются ввиду три кубика с другими (отличающимися от указанных) числами на гранях.

[PAV]

Неважно какие числа написаны на гранях, любое событие, связанное с независимым бросанием двух правильных кубиков, может иметь вероятность только вида $k/36$, и никакую другую.

[Cash]

Методом исключения остается случай кубиков со смещенным центром тяжести. Но, если честно, ни разу таких в задачах не встречал...

(Оффтоп)

Интересен и переход от рулетки, где легко можно менять количество секторов, к кубикам, понижая степень свободы. Логично было бы наоборот. Хотя нет, зачем вообще кубики рассматривать? Неужели на рулетке нельзя было 6 секторов нарисовать?

[tess]

Уважаемый PAV! Ссылаюсь на второе переработанное издание книги "Denkste!" профессора по статистике Дортмундского университета Walter Krämer издательства Piper München Zürich (http://www.piper.de), май 2011. Aвтор книги также является председателем "Vereins Deutsche Sprache e.V" (http://www.vds-ev.de). После того, как автор рассказал о трёх китайских кубиках, он пишет: "Für unsere speziellen chinesischen Würfel haben wir gesehen, dass die Wahrscheinlichkeiten für "A schlägt B","B schlägt C" und "C schlägt A" alle größer waren als 1/2, mit einem Minimum von 20/36 = 0,555...
Dieses Minimum ist durchhaus noch nicht das größte mögliche. Man kann zeigen, dass bei anderen Würfeln sogar ein Minimum von $\frac{# \sqrt{5}-1}{2}$ erreichbar ist und dass dieses Minimum mit wachsender Zahl von Würfeln sogar och größer wird; er nähert sich einem Grenzwert von 0,75". Затем он приводит пример с четырьмя кубиками: A 7-7-7-7-1-1, B 6-6-5-5-4-4, C 9-9-3-3-3-3, D 8-8-8-2-2-2, где A выигрывает у B, B выигрывает у C, C выигрывает у D, D выигрывает у A все с вероятностью 2/3.
Но меня интересовал вопрос независимо от того, ошибся профессор или нет, какова может быть идея доказательства максимальной величины минимальной вероятности? Если Вы не можете ответить, то я не буду Вас больше мучить.

[--mS--]

См. Zalman Usiskin, Annals of Statistics 35 (1964), p. 857-862