Помогите найти информацию про многочлены...

[Novaks]

Я писал исследовательскую ,и планирую её в дальнейшем развивать, касательно многочленов вида:
$x^2^n+x^n+1$

С помощью метода мат. индукции и различных алгебраических преобразований было доказано, что многочлены вида:
$x^2^n+x^n+1$ ,при $n=3^k$ ,kЄN не раскладываются на множители(в поле целых чисел) .
В последствии я узнал ,что данные многочлены носят название - циклические многочлены (или что-то вроде этого, я не уверен).
Всем, кто знает какую-либо информацию касательно этих многочленов ,или может предоставить ссылки с источниками, буду очень благодарен.)

[Klad33]

Я знаю только о корнях многочлена:

$ x=cos \big ( \frac{2 \pi}{3n} \big ) + i \cdot sin \big ( \frac{2 \pi}{3n} \big ) $

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #485256 писал(а):

Я знаю только о корнях многочлена:

$ x=cos \big ( \frac{2 \pi}{3n} \big ) + i \cdot sin \big ( \frac{2 \pi}{3n} \big ) $

Пока видно, что Вы знаете только один корень многочлена $x^{2n}+x^n+1$. А остальные?

[Sonic86]

$x^{2n}+x^n+1 = \frac{x^{3n}-1}{x^n-1}$. Числитель и знаменатель - круговые многочлены $x^k-1$, раскладываются стандартным образом через разложение $k$ на множители и через корни из единицы. Число множителей, на которые многочлен раскладывается, равно $\tau (k)$ - числу делителей числа $k$ (из последнего получается Ваш результат. Можно попытаться решить уравнение $\tau (3n) - \tau (n) =1$ и целиком ).

Вот тут о них информация:
http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html
Есть также немного о них в книге Хассе Теория чисел (к сожалению, источник попроще не знаю, но можете попробовать побегать по ссылкам. Вот в русской Вики еще 2 книги указаны: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1% ... 0%B5%D0%BD).
Если многочлены над конечными полями - можно Лидла Нидеррайтера посмотреть.

(формулы)

Novaks в сообщении #485243 писал(а):

kЄN

Наведите мышкой на формулу: $k \in \mathbb{N}$

[nnosipov]

Довольно подробно про круговые (или циклотомические, cyclotomic) многочлены написано в книге В.В. Прасолова "Многочлены" (М., МЦНМО, 2003). Предварительно следует почитать хотя бы про комплексные числа и корни из единицы --- без этого трудно будет понять даже определение круговых многочленов.

[VAL]

Novaks в сообщении #485243 писал(а):

Я писал исследовательскую ,и планирую её в дальнейшем развивать, касательно многочленов вида:
$x^2^n+x^n+1$

С помощью метода мат. индукции и различных алгебраических преобразований было доказано, что многочлены вида:
$x^2^n+x^n+1$ ,при $n=3^k$ ,kЄN не раскладываются на множители(в поле целых чисел).

Раскрою страшную тайну: целые числа не образуют поле.

Извините за вредность.

[Novaks]

Хорошо ,немного ошибся, в множестве.