Задача по геометрии на принцип Дирихле

[The DEADman]

Здравствуйте!

Пожалуйста, наведите на мысли в нужном направлении относительно следующей задачи:

В правильный шестиугольник с расстоянием 1 между параллельными сторонами бросили наугад 4 точки. Докажите, что какие-то две из них отстоят друг от друга на расстояние меньше, чем 0.87.

Второй час сижу, не могу выдумать ничего хорошего;
При доказательстве от противного -
ясно, что длины каждой из сторон полученного четырехугольника (выпуклого или "впуклого") больше 0.87;
ясно также, что длины каждой из диагоналей также больше 0.87.

А еще ясно, что площадь шестиугольника равна \sqrt{3}/2.

Что с этим делать - не знаю.

[ewert]

Попытайтесь уместить в этот шестиугольник четыре монетки соответствующего радиуса. (Правда, при чём тут принцип Дирихле, я не понял.)

[The DEADman]

Плохо понял с монетками; ведь я сам ограничиваю себе свободу, если пытаюсь разместить монетки, потому что их центр будет лежать внутри шестиугольника при любом радиусе.

А точки наугад можно кинуть и на границу.

[ewert]

Ну про монетки это так, для наглядности: интуитивно представляется, что они в оптимальном положении должны соприкоснуться и образовать ромбик с углом от 60 до 90 градусов. Но, наверное, формализовать это трудно.

Если точки образуют выпуклый четырёхугольник, то всё тривиально: просто периметр этого четырёхугольника чуть-чуть, но больше периметра шестиугольника.

[Maslov]

Можно и через принцип Дирихле. Если провести из центра три отрезка в вершины (через $120^\circ$), то шестиугольник разобьется на 3 ромба. В какой-то ромб попадет по крайней мере 2 точки.

[ewert]

Maslov в сообщении #486267 писал(а):

В какой-то ромб попадет по крайней мере 2 точки.

И пусть себе попадают (пока что): ведь диаметр этого ромба равен единице.

[Maslov]

ewert в сообщении #486268 писал(а):

И пусть себе попадают (пока что): ведь диаметр этого ромба равен единице.

Да, невнимательно прочитал условие

[ewert]

А, понял: надо не на ромбы разбивать, а на пятиугольники -- вот у них-то диаметр в точности равен $\frac{\sqrt3}{2}$. Тогда и впрямь на Дирихле.

[The DEADman]

А правильный шестиугольник можно разбить на три правильных пятиугольника?
Я все пытаюсь это нарисовать или представить, но не получается :]

[ewert]

The DEADman в сообщении #486272 писал(а):

А правильный шестиугольник можно разбить на три правильных пятиугольника?

Почему именно на правильные, просто на одинаковые. Опуская перпендикуляры из центра шестиугольника на три стороны.

[The DEADman]

Спасибо большое! Теперь разобрался.

[ewert]

Ну заодно нечаянно познакомились с новым для Вас (судя по всему) понятием -- со стандартным обобщением понятия диаметра на произвольные геометрические фигуры. Это тоже полезно.