Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением

[Bulinator]

Выношу на суд общественности плод своих трудов. Жду комментариев.



Введение
До XVI века считалось, что числа даны людям Богом - раз и навсегда. Их обобщения никто не искал. Однако в середине XVI века итальянские ученые Жироламо Кардано и Рафаэль Бомбелли ввели в рассмотрение квадратный корень из -1. Только в XIX веке открытие было строго сформулировано и стало широко использоваться, получив название "комплексных чисел". Любое комплексное число может быть представлено с помощью двух вещественных чисел - $x+\imath y$, где $\imath^2=-1$. Дальнейшее обобщение связано с работами ирландского ученого Уильяма Рована Гмильтона [1]. В течениe восьми лет он искал обобщенеи комплексных чисел для трехмерного пространства. И только в 1843-м году 16-го октября, прогуливаясь с женой к Ирландской Королевской Академии, он смог найти закон умножения для обобщения комплексных чисел, правда, не для трехмерного, а для четырехмерного пространства. Эти числа он назвал кватернионами. Известна история, когда вдохновленный своим открытием, в самом известном факте математического вандализма, Гамильтон на камне Бругхэмовского моста высек ставшие теперь известными формулы перемножения кватернионов:

$$ \imath^2=j^2=k^2=ijk=-1\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1.1) $$

Через два месяца после открытия Гамильтоном кватернионов его друг, британский математик Джон Грейвс, объявил, что он построил следующее, 8-мерное обобщение. Эти числа он назвал октавами. Однако, до того как Грейвс успел опубликовать свою работу, британский адвокат-математик Артур Кэли сделал то же открытие и напечатал его в ужасной во всех остальных отношениях статье, посвященной эллиптическим функциям, назвав новые числа октонионами[2]. Современное состояние теории октонионов прекрасно изложено в статье Джона Баеза [3].

В дальнейшем тот же Грейвс долго пытался построить следующее, 16-мерное, обобщение. Эту алгебру он назвал ``седенионами'', однако потом стало ясно, что они не являются алгеброй с делением: седенионы могут иметь нулевой делитель. Вопрос был закрыт немецким математиком Адольфом Гурвицом в 1898-м году [4]. Оказывается, что существуют только четыре нормированные алгебры с делением с размерностями 1,2,4, и 8.

Каждая следующая алгебра теряет симметрию предыдущей [3]. Так, переходя от вещественных чисел к комплексным, мы теряем тот факт, что любой элемент сам себе сопряжен. Переходя к кватернионам, теряется коммутативность, а в случае октонионов даже ассоциативность. Последняя, впрочем, заменяется более слабым условием альтернативности (см. ниже). При дальнейшем обобщении теряется и это свойство.


Примером применения нормированных алгебр с делением являются отображения Хопфа. В 1931-м году немецкий математик Хайнц Хопф предложил преобразование, которое ставило в соответствие точки трехмерной и двумерной сфер так, что каждой точке последней соответствовала окружность. Иными словами, было предложено расслоение сферы над сферой со слоем сфера - $S^3/S^1=S^2$. До этого момента считалось, что все подобные преобразования нуль-гомотопны, т.е. переводят сферу в точку. В дальнейшем стало ясно, что это отображение очень просто описывается с помощью одной из нормированных алгебр деления - комплексных чисел. Оказалось, что каждой такой алгебре соответсвует расслоение сферы над сферой со слоем сфера. Так, существуют три отображения Хопфа- первое - $S^3/S^1=S^2$, второе - $S^7/S^3=S^4$ и третье - $S^{15}/S^7=S^8$. Можно рассматривать подобное отображение, связанное с вещественными числами. Его иногда назвают нулевым отображением Хопфа- $S^1/S^0=S^1$.

Отображения Хопфа применяются, например, в теории суперсимметричных полей [5], монополей[6], информации [7], теории суперпроводимости. Именно с возможными размерностями нормированных алгебр с делением, а значит и отображений Хопфа, связаны возможные размерности супергравитационных теорий.

Предлогаемая работа посвящена изложению введения в теорию нормированных алгебр с делением и связанных с ними отображений Хопфа.

Работа составлена следующим образом.

Во второй части дается определение нормированных алгебр с делением и связанных с ними терминов. Доказывается теорема Гурвица.

В третьей части описываются отображения Хопфа с помощью нормированных алгебр с делением.

-- Пт сен 23, 2011 11:03:49 --

2.Нормированные *-алгебры с делением

Пусть для некоторого (пока не определенного) числа $n$ заданы $n-1$ величин ${\bf e}_\mu$, таких, что

$$ {\bf e}_\mu{\bf e}_\nu=-\delta_{\mu\nu}+C_{\mu\nu\lambda}{\bf e}_\lambda,\quad \mu,\nu,\lambda=1,\ldots,n-1,\eqno(2.1) $$

где вещественные коэффициенты $C_{\mu\nu\lambda}$ антисимметричны относительно перестановки любых двух индексов, т.е. величины ${\bf e}_\mu$ антикоммутируют между собой:

$$ {\bf e}_\mu{\bf e}_\nu+{\bf e}_\nu{\bf e}_\mu=-2\delta_{\mu\nu}\qquad\qquad\qquad\qquad(2.2) $$

Здесь и далее по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование (заметьте - мы не предполагаем ни коммутативности, ни ассоциативности элементов). С помощью величин ${\bf e}_\mu$ можно определить алгебру над полем вещественных чисел. Так, каждый элемент ${\bf X}$ алгебры представляется следующим образом:

$${\bf X}=x_n+x_\mu {\bf e}_\mu .\eqno(2.3)$$

Определение 1. Скажем, что алгебра $D$ является $*$-алгеброй, если существует линейное отображение $*:D\mapsto D$ такое, что для любых ${\bf X},{\bf Y}\in D$ выполняется:

$$ {\bf X}^{**}={\bf X},\quad ({\bf X}{\bf Y})^*={\bf Y}^*{\bf X}^* $$

Алгебру (2.1),(2.3) можно сделать *-алгеброй и определить норму, определив сопряжение элементов:

$$ {\bf X}^*\equiv x_n-x_\mu{\bf e}_\mu, \quad |{\bf X}|\equiv\sqrt{{\bf X}{\bf X}^*}=\sqrt{x_a x_a},\quad a=1,\ldots,n \eqno(2.5) $$

Имея норму элемента, можно определить обратный к нему элемент:

$$ {\bf X}^{-1}=\frac{{\bf X}}{|{\bf X}|^2}, \quad {\bf X}{\bf X}^{-1}={\bf X}^{-1}{\bf X}=1 \eqno(2.6) $$

Пользуясь определением обратного элемента, можно определить правое и левое деления:

$$ \left(\frac{{\bf X}}{{\bf Y}}\right)_L={\bf Y}^{-1}{\bf X},\quad \left(\frac{{\bf X}}{{\bf Y}}\right)_R={\bf X}{\bf Y}^{-1}. \eqno(2.7) $$

Определение 2. Алгебра $D$ называется нормированной, если $\forall {\bf X},{\bf Y}\in D$ существует билинейное отображение $|.|:D\times D\mapsto \mathbb{R}^{+}$ такое, что

$$ |{\bf X}{\bf Y}|=|{\bf X}||{\bf Y}|.\eqno(2.8) $$

Определение 3. Алгебра $D$ называется алгеброй с делением, если $\forall {\bf X},{\bf Y}\in D$ из условия ${\bf X}{\bf Y}=0$ следует, что либо ${\bf X}=0$, либо ${\bf Y}=0$. Эквивалентно: алгебра $D$ называется алгеброй с делением, если уравнение ${\bf A}{\bf X}={\bf B}$ имеет решение относительно ${\bf X}$ для $\forall {\bf A},{\bf B}\in D,\quad {\bf A}\neq 0$.

Для описания отображений Хопфа важно, что рассматриваемые алгебры имеют деление. Рассмотрим, в каких случаях их можно сделать такими.

Расширим определение (2.1). Положим $C_{abc}\equiv C_{abc}$ при $a,b,c=1,\ldots,n-1$ и $C_{abc}=0$, если хотя бы один из индексов $a,b,c$ равен $n$. Определим так же ${\bf e}_n=1$. Таким образом, каждый элемент алгебры можно записать ввиде

$$ {\bf X}=x_a{\bf e}_a,\quad a=1,\ldots,n. $$

C помощью (2.1) произведение двух элементов можно записать следующим образом:

$$ {\bf X}=x_a{\bf e}_a,\quad {\bf Y}=y_a{\bf e}_a,\quad ({\bf X}{\bf Y})_a=x_b(\gamma^b)_{ac} y^c, \eqno(2.9) $$

где

$$ ({\gamma}^n)_{bc}=\delta_{bc},\quad (\gamma^\mu)_{ab}=-\delta_{an}\delta^\mu_b+\delta^\mu_a\delta_{bn}-C^{\mu}_{ab},\quad C^{\mu}_{ab}\equiv C_{ab\mu},\label{gammanm1} \eqno(2.10) $$

$$ \mu,\nu,\lambda=1,\ldots,n-1,\quad a,b,c=1,\ldots,n. $$

Мы не делаем различия между верхним и нижним индексами: $y_a\equiv y^a$. В формуле индекс поднят только для удобства записи.

Из определения матриц $\gamma^\mu$ видно, что они антисимметричны:

$$(\gamma^\mu)^T=-\gamma^\mu\label{ant}. \eqno(2.11)$$

Обозначения (2.10) можно записать более общим образом:

$$ (\gamma^c)_{ab}=-\delta_{an}\delta^c_b+\delta^c_a\delta_{bn}+\delta^c_n\delta_{ab}-C^{\mu}_{ab}. \eqno(2.12) $$

Теорема (Гурвиц). Существуют только четыре нормированные *-алгебры с делением при $n=1,2,4,8^1$.

Доказательство (Экман). Условие нормированности зможно записать следующим образом:

$$ |{\bf X}{\bf Y}|^2=\sum\limits_{b=1}^{n}(x_a\gamma^a_{bc}y_c)^2=|{\bf X}|^2|{\bf Y}|^2=(x_1^2+\ldots +x_n^2)(y_1^2+\ldots +y_n^2). \eqno(2.13)$$

Для $n=1$ существование алгебры очевидно.


Раскрывая скобки и требуя выполнения равнества для любых значений $x_a$ и $y_a$ и используя антисимметричность матриц $\gamma^\mu$, получаем:

$$ \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=-2\delta^{\mu\nu},\quad (\gamma^\mu)^{-1}=(\gamma^\mu)^T=-\gamma^\mu.\qquad\qquad\qquad(2.14) $$

Таким образом, искомые матрицы $\gamma^\mu$ образуют представление алгебры Клиффорда. Последние очень хорошо исследованы и изложены во многих книгах (см., например, [9]). В частности, показано, что неприводимые многомерные представления алгебры Клиффорда с $n-1$-образующими $\gamma^\mu$ имеют размерность $2^\frac{n-1}{2}$ для нечетных $n$ и $2^\frac{n-2}{2}$ для четных $n$. С другой стороны, размерность матриц равна $n$ по определению. Согласно теореме Машке, любое приводимое представление вполне приводимо, а следовательно, матрицы могут быть представлены ввиде прямой суммы неприводимых представлений. Т.к. для каждого фиксированного $n$ размерность всех представлений одинакова, размерность $n$ должна быть кратна размерностям неприводимых представлений, которые, как уже сказано, суть четные числа. Очевидно, что $n$ не может быть нечетным числом. Для четных же $n$ из условия $n\quad mod\quad 2^{\frac{n-2}{2}}=0$ получаем $n=2,4,8$.

Итак, для возможных значений $n$ мы получили значения 1,2,4, и 8. Остается доказать, что при таких значениях $n$ существуют искомые алгебры. Это показывается прямым построением. Для $n=1$ имеем алгебру вещественных чисел $\mathbb{R}$, для $n=2$ алгебру комплексных чисел $\mathbb{C}$, для $n=4$ алгебру кватернионов $\mathbb{H}$ и для $n=8$ алгебру октонионов $\mathbb{O}$.

С ростом размерности алгебры теряют симметрии, присущие предыдущим. Так, переходя от вещественных чисел к комплексным мы теряем свойство, что каждый элемент сам мебе сопряжен. Как "меру невещественности" можно взять мнимую часть комплексного числа:

$$ Im({\bf X})={\bf X}-{\bf X}^*, \eqno(2.15) $$

которое обнуляется в случае вещественных чисел.

Следующая алгебра($n=4$)- алгебра кватернионов, которая в отличии от предыдущих двух уже некоммутативна. Мерой некоммутативности принято рассмтаривать билинейное отображение называемое коммутатором $[.,.]:D\times D\mapsto D$:

$$ [{\bf X},{\bf Y}]\equiv {\bf X}{\bf Y}-{\bf Y}{\bf X}.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.16) $$

Базисные три элемента алгебры кватернионов принято обозначать $\imath,j,k$. Так, каждый кватернион ${\bf q}$ записывается следующим образом:

$$ {\bf q}=q_4+q_1\imath+q_2j+q_3k,\quad q_1,q_2,q_3,q_4\in \mathbb{R}.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.17) $$

Произведение базисных элементов определяется по формуле (1.1), где как антисимметричные коэффициенты $C_{\mu\nu\lambda}$ берутся компонетны абсолютно антисимметричного тензора $\varepsilon_{\mu\nu\lambda}$. Легко видеть, что элементы $\imath/2,j/2,k/2$ удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры $su(2)$:

$$ \left[\frac{{\bf e}_\mu}{2},\frac{{\bf e}_\nu}{2}\right]=\varepsilon_{\mu\nu\lambda}{\bf e}_\lambda.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.18) $$

Наконец, алгебра кватернионов теряет свойство ассоциативности, присущее всем предыдущим алгебрам. Впрочем, алгебра октонионов имеет более слабое свойство, называемое альтернативностью. Вообще, алгебра называется ассоциативной, если для любых трех элементов выполняется $({\bf X}{\bf Y}){\bf Z}={\bf X}({\bf Y}{\bf Z})$. Альтернативность означает, что любая подалгебра, генерируемая двумя элементами ассоциативна:

$$ ({\bf X}{\bf X}){\bf Y}={\bf X}({\bf X}{\bf Y}),\quad ({\bf X}{\bf Y}){\bf X}={\bf X}({\bf Y}{\bf X})\quad ({\bf Y}{\bf X}){\bf X}={\bf Y}({\bf X}{\bf X}).\qquad\qquad\qquad\qquad(2.19) $$

Легко видеть, что из любых двух равенств следует третье, так что для определения альтернативности принято брать первые два.

Мерой нарушения ассоциативности является трилинейное отображение $[.,.,.]:D\times D\times D\mapsto D$, называемое ассоциатором:

$$ [{\bf X},{\bf Y},{\bf Z}]=({\bf X}{\bf Y}){\bf Z}-{\bf X}({\bf Y}{\bf Z}).\qquad\qquad\qquad\qquad(2.20) $$

Алгебра октонионов является наиболее общей из всех рассмотренных и как частные случаи содержит их в себе. Коэффициенты $C_{\mu\nu\lambda}$ можно выбрать следующим образом:

$$ C_{1,2,3}=C_{147}=C_{165}=C_{246}=C_{257}=C_{354}=C_{367}=1.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.21) $$

Все ненулевые элементы получаются из этих перестановкой индексов. В заключении приведем очень полезные для расчетов тождества Муфанга, которые следуют из альтернативности алгебры октонионов [10]:

$$ ({\bf X}{\bf Y}{\bf X}){\bf Z}={\bf X}({\bf Y}({\bf X}{\bf Z})), \quad ({\bf X}{\bf Y})({\bf Z}{\bf X})={\bf X}({\bf Y}{\bf Z}){\bf X}.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.22) $$

$\hline$
Вообще-то, теорема Гурвица обычно формулируется в несколько ином виде. Однако, т.к. ее главное применение является доказательством этого факта, мы перефразируем его таким образом.


-- Пт сен 23, 2011 11:04:36 --

3. Отображения Хопфа
Пусть $2n$-мерное евклидово пространство ($n=1,2,4,8$) параметризовано координатами $u_A$, $A=1,\ldots, 2n$. Вместо них рассмотрим 2 элемента соответствующей алгебры:

$$ {\bf u}_\alpha=u_{n\alpha} + u_{(\alpha-1) n+\mu}{\bf e}_\mu,\quad \alpha=1,2,\quad \mu,\nu=1,\ldots,n-1.\qquad\qquad\qquad(3.1) $$

С помощью таких обозначений отображения Хопфа можно записать следующим образом:

$$ {\bf x}\equiv x_n+x_\mu{\bf e}_\mu=2{\bf \bar u}_2{\bf u}_1,\quad x_{n+1}={\bf \bar u}_2{\bf u}_2-{\bf \bar u}_1{\bf u}_1.\qquad\qquad\qquad\qquad(3.2) $$

Для случаев вещественных, комплексных, кватернионных и октонионных чисел эти преобразования называются преобразованиями Леви-Чивита - Болина [11], Кустаанэймо-Шитфеля [12] и последние два преобразованиями Гурвица.
Можно проверить, что функции ${\bf x},x_{n+1}$ удовлетворяют следующему тождеству:

$$ {\bf \bar x}{\bf x}+x_{n+1}^2=({\bf \bar u}_1{\bf u}_1+{\bf \bar u}_1{\bf u}_2)^2=r^2\qquad\qquad\qquad\qquad(3.3) $$

Иными словами, фиксируя ${2n-1}$-мерную сферу в пространстве ${\bf u}_{1,2}$ мы $n$-мерную сферу в пространстве $x_1,\ldots, x_{n+1}$.

Обратные формулы (3.2) записываются следующим образом:

$$ {\bf u}_\alpha={\bf g}{\bf r}_\alpha,\quad {\bf r}_1=\frac{{\bf x}}{\sqrt{2(r+x_{n+1})}},\quad r_2=\sqrt{\frac{r+x_{n+1}}{2}},\qquad\qquad\qquad\qquad(3.4) $$

где

$$ {\bf g}=\frac{{\bf u}_2}{|u_2|}, \eqno(3.5) $$

а $r$ определено согласно (3.3).

Заметьте, что величины ${\bf x}, {\bf r}_1$ являются элементами соответствующей алгебры, тогда как $x_{n+1}, r_2$ суть вещественные числа.

3.1 Нулевое, первое и второе отображения Хопфа

Пусть ${\bf u}_1$ и ${\bf u}_2$ вещественные, комплексные или кватернионные числа. Лекго проверить, что функции (3.2) инвариантны относительно преобразований

$$ {\bf u}_\alpha\mapsto {\mbox{\boldmath$\tau$}}{\bf u}_\alpha,\qquad\qquad\qquad\qquad(3.6) $$

где $\boldsymbol\tau\bar{\boldsymbol\tau}=1$- произвольный элемент соответствующей алгебры. Учитывая определение нормы (2.5) заключаем, что условие $\boldsymbol\tau\bar{\boldsymbol\tau}=1$ определяет $n-1$-мерную сферу. Учитывая также (3.3), заключаем, что преобразование (3.2) определяет расслоение
$S^{2n-1}/S^{n-1}=S^n$, $n=1,2,4$.

3.2 Третье отображение Хопфа

Из-за неассоциативности октонионов преобразование (3.5) для этого случая не работает. Однако оказывается, что его можно обобщить. Для этого заметим, что координатами слоя нулевого, первого и второго отображений можно выбрать величину ${\bf g}$. Действительно, учитывая обратные преобразования (3.4), (3.6) можно переписать следующим образом:

$$ {\bf g}\mapsto {\mbox{\boldmath$\tau$}}{\bf g}.\qquad\qquad\qquad\qquad(3.7) $$

Это преобразование уже обобщается прямо. В случае кватернионов получаем обычную формулу (3.6), а для случая октонионов:

$$ {\bf u}_2\mapsto {\mbox{\boldmath$\tau$}}{\bf u}_2,\quad {\bf u}_1\mapsto \frac{({\mbox{\boldmath$\tau$}} {\bf u}_2)({\bf \bar u}_2 {\bf u}_1)}{{\bf u}_2{\bf \bar u}_2}\qquad\qquad\qquad(3.8) $$

или

$$ {\bf u}_\alpha\mapsto \frac{({\mbox{\boldmath$\tau$}} {\bf u}_2)({\bf \bar u}_2 {\bf u}_\alpha)}{{\bf u}_2{\bf \bar u}_2}.\qquad\qquad\qquad\qquad(3.9) $$

Повторяя в точности рассуждения для случая предыдущих отображений, получаем третье расслоение: $S^{15}/S^7=S^8$.

-- Пт сен 23, 2011 11:07:08 --

[1]. Hamilton  W. R. (1866). Elements of Quaternions. Second edition 1899 1901 enlarged by C.J. Joly. Reprinted in 1969 by Chelsea Publishing, New York
[2]. Ian Stewart, "The missing link..." New Scientist, vol 176, issue 2368 - 09 November 2002, page 30
[3]. J. Baez, "The Octonions", Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205
[4]. Hurwitz,  A. (1898). Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln . Nachr. Ges. Wiss. Göttingen: 309-316.
[5]. A. Nersessian “Elements of (Super)Hamiltonian Formalism” Lecture Notes in Physics Vol. 698 (2006) 139- 188
 F. Toppan "On a division algebra classification of constrained generalized supersymmetries. " PoS WC2004:047,2004
[6]. V. M. Ter-Antonyan, Dyon-Oscillator duality, Lectures given at BLTP International School on Symmetries and Integrable Sysems, Dubna, Russia, 8-11 Jun 1999,
[7]. B.A. Bernevig and H. –D. Chen “Geometry of the 3-qubit state entaglement and division algebras”, J.Phys A 36 (2003) 8325-8339
[8]. I.  N. Herstein, “Noncommutative rings.” The Carus Mathematical Monographs, no. 15, Mathematical Association of America,
[9]. J. Wess, J. Bagger Supersymmetry and Supergravity Princeton(1983)
А. Барут, Р. Рончка “Теория представлений групп и ее приложения” тома I,II Мир, Москва (1980)
[10]. M. Zorn, Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg 8 (1930) 123
[11]. T. Levi-Civita, “Sur la résolution qualitative du problème restreint de trois corps” Opere Mathematiche,(1906), 411
K. Bohlin, Bull. Astr., (1911), 144
[12]. P. Kustaanheimo, E. Stiefel, “Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularizations” J. Reine Angew Math., (1965), 204
[13]. A. Hurwitz, Mathematische Werke, Band II, 641 (Birkhäuser, Basel, 1933)

[sergei1961]

Замечательную книгу Кантор-Солодовников неплохо также процитировать.

[Bulinator]

sergei1961 в сообщении #485559 писал(а):

Замечательную книгу Кантор-Солодовников неплохо также процитировать.

Они про Хопфа даже не заикаются. Так что я их наказываю!!! :)))

[Bulinator]

Неинтересно? :(

[В.О.]

Примеров хотелось бы. В общем виде плохо воспринимается.

[Bulinator]

В.О. в сообщении #486003 писал(а):

Примеров хотелось бы.

Примеров чего?

[В.О.]

Bulinator в сообщении #486057 писал(а):

Примеров чего?

$e_{\mu}, C_{\mu, \nu,\lambda}...$

Что такое $e_{\mu}$? Векторы? Базис? В каком пространстве?
Откуда известно, что соотношение (2.1) выполняется хоть для каких-то $e_{\mu}, C_{\mu, \nu,\lambda}$? Нужен пример.

[В.О.]

Разобрался. Все очень доходчиво изложено в http://www.fizteh.ru/02-07-90327/index/qwat/

[Bulinator]

Обидно :(

[metelev]

Сжато очень написано. Опечатки встречаются. Например в (3.1) написано $\mu,\nu=1,\ldots,n-1$, но в формуле вообще не используется $\nu$. После (2.18) написано Наконец, алгебра кватернионов Хотя по смыслу должно быть октанионов.
После (3.3) в предложении пропущен глагол. "Иными словами, фиксируя ... мы ..." Мы что делаем? Не сказано.

Хотя разобраться, наверное, можно.