Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

[REM]

2xy' + y^2 = 1

Моя попытка решения:

2x \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - y^2 | \cdot \frac{dx}{x(1 - y^2)}
2 \int{\frac{dy}{1 - y^2}} = \int {\frac{dx}{x}}

А как дальше?

\ln{\left | \frac{1 + y}{1 - y} \right |} + c = \ln{|x|}
или
\ln{\left | \frac{1 + y}{1 - y} \right |} = \ln{|x|} + c?

Есть ли принципиальная разница?

[ewert]

REM в сообщении #485959 писал(а):

Есть ли принципиальная разница?

В этом нет, зато есть принципиальная ошибка -- потеря модуля. Кроме того, пока что потеряны два решения.

[REM]

ewert в сообщении #485964 писал(а):

REM в сообщении #485959 писал(а):

Есть ли принципиальная разница?

В этом нет, зато есть принципиальная ошибка -- потеря модуля. Кроме того, пока что потеряны два решения.

Модуль потерял, набирая решение в техе.
А потерянные решения, как я понимаю, это y = 1, y = -1. А как же x = 0?

[Dan B-Yallay]

А причем тут $x=0$? Вы ведь ищете неизвестную функцию $y(x)$

[REM]

Dan B-Yallay в сообщении #485976 писал(а):

А причем тут $x=0$? Вы ведь ищете неизвестную функцию $y(x)$

Значит, при делении нужно учитывать только потерянные значения y?

Общее решение уравнения будет выглядеть так, верно?

\left\{\begin{matrix} \frac{1 + y}{1 - y} = c \cdot x \\ y = 1 \\ y = -1 \end{matrix}\right.

[Dan B-Yallay]

REM в сообщении #485978 писал(а):

Значит, при делении нужно учитывать только потерянные значения y?

В этой задаче - да

REM в сообщении #485978 писал(а):

Общее решение уравнения будет выглядеть так, верно?

Похоже.

[alcoholist]

Dan B-Yallay в сообщении #485976 писал(а):

Вы ведь ищете неизвестную функцию $y(x)$

может быть, правильнее искать интегралы уравнения... интегральные кривые?

[Dan B-Yallay]

Вообще говоря да, но для этой задачи при $x=0$, все равно имеем $y=\pm 1$, не?

[Legioner93]

Здесь на $x$ можно спокойно делить и не бояться потерять решение. Потому что в условии есть такая величина, как $y'$.
Вот уравнение $2xdy+(y^2-1) dx=0$ уже немного другое, у него существует дополнительное решение $x \equiv 0$.