Найти экстремум функционала в шаре

[vlad_light]

Задание:
Задан функционал $f:C([0,1])\to\mathbb R$:
$f(x)=\int\limits_{0}^1 x(t)dt + x(\frac{1}{2})$.
Найти экстремальное значение функционала в замкнутом шаре $\overline B_1=\{x|\|x\|\leq 1\}$.
Решаю:
Функционал $f$ - линейный и ограниченый, следовательно непрерывный. $\overline B_1$ - компактное множество в $C([0,1])$. Тогда по теореме Вейерштрасса: непрерывная функция на компакте достигает своего минимума или максимума.
Теперь вопрос: в ответе сказано, что экстремум не достигается. Почему?

[Someone]

vlad_light в сообщении #485585 писал(а):

$\overline B_1$ - компактное множество в $C([0,1])$.

Не компактное. Рассмотрите последовательность функций, которая не сходится равномерно. Например, $f_n(x)=1-x^n$. Она, кстати, вообще не имеет предельных точек в $B_1$.

[vlad_light]

Спасибо!

[мат-ламер]

Простите, я может не так понял условие, но почему экстремум не достигается? Допустим $x(t)=1$. Тогда на этой функции достигается максимум $f^*=2$. Допустим, я не прав, но тогда каковы верхние и нижние грани функционала $f$ ?