Точки на плоскости

[Юстас]

На плоскости отмечено конечное $N\geq3$ число точек. Если через любые две точки провести прямую, то на ней обязательно окажется еще и третья точка. Верно ли, что все точки лежат на одной прямой?

[RIP]

Верно.

[maxal]

Пусть это не так. Рассмотрим все возможные прямые, проходящие через пары (а значит, и тройки) точек из данных и все возможные точки из данных на этих прямых не лежащие. Найдем среди них прямую и точку с наименьшим расстоянием. Обозначим точку O, а три точки на прямой A, B, C в порядке следования. Понятно, что точка B не лежит на прямых OA и OC. В то же время нетрудно видеть, что по крайней мере одно из расстояний от B до прямой OA или от B до прямой OC обязано быть меньше чем расстояние от O до прямой AC, что проитиворечит их выбору. Полученное противоречие доказывает, что все точки лежат на одной прямой.

[Юстас]

Maxal, Вы рассматриваете прямые, проходящие через всевозможные пары точек? Откуда тогда точки, не лежащие на этих прямых? Из рассуждений мне это непонятно. И что имеется ввиду под наименьшим расстоянием?

[maxal]

Юстас писал(а):

Maxal, Вы рассматриваете прямые, проходящие через всевозможные пары точек? Откуда тогда точки, не лежащие на этих прямых?

Я же предположил противное, т.е. что не все точки лежат на одной прямой, а значит есть как минимум одна прямая (проходящая через пару/тройку точек из данных) и точка (опять же из данных) на этой прямой не лежащая. Я рассматриваю все такие пары (прямая,точка) и выбираю среди них пару с минимальным расстоянием между прямой и точкой.

[Юстас]

Спасибо, теперь понятно.