Суммирование одного ряда

[Горьковчанин]

Пусть $p>0$, $q$ - целые числа, $q\in\{0,1,\ldots,p-1\}$, $a>0$ - вещественное число. Что можно сказать о значении суммы

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a^{np+q}}{(np+q)!}e^{-a}\,\hbox{?}$$

[maxal]

Можно явно вычислить как мультисекцию ряда

$$f(a) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!}\equiv e^a.$$

[PAV]

Пример. Возьмите $p=2$. Тогда полученные ряды представляют собой разложения гиперболических функций:

$\mathop{\mathrm{ch}} a = \frac{e^a+e^{-a}}{2}=1+\frac{a^2}{2!}+\frac{a^4}{4!}+\cdots$

$\mathop\mathrm{sh}} a = \frac{e^a-e^{-a}}{2}=a+\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}+\cdots$

[maxal]

Если нигде не наврал, то

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a^{np+q}}{(np+q)!}e^{-a} = \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} e^{a(\cos\frac{2\pi k}{p} - 1)}\cdot\cos\left(a\sin\frac{2\pi k}{p} - \frac{2\pi q k}{p}\right).$$