ОДУ, единственность и виды решений. Не могу разобраться.

[Mr. Brom]

Всего, как я понял, существует три вида решений: Частное, Особое и Общее.. Где общее - это через константу, а Особое и Частное определяются наличием/отсутствием единственности.
Так вот если с Общим всё более менее ясно, то по поводу единственности возникает множество вопросов..

Думаю лучше будет разбираться на примерах..
Итак, пример 1:
$y'+y=0$
$y=C \cdot e^{-x}$ - общее решение.
Если брать конкретные значения константы не равные 0, то будут получаться частные решения. А существуют ли у этого уравнения особые решения ? И чем является решение y=0 (тождественно) ?

Пример 2:
$y'=x$
$ y=1/2 \cdot x^{2}$ - это частное решение ?

Ну и главный вопрос - единственность определяется в точке/интервале/области определения ?
Из методов определения единственности знаю лишь теорему Пикара, но она даёт единственность лишь на промежутке Пеано, а как быть насчет остальной области ?

В общем, в этой теме я полный профан, но нужно знать всё досконально..

[gris]

В различных курсах под "особыми решениями" понимаются немного разные вещи.
Например, в п. 1 решение $y=0$ обособляется при решении уравнения по методу разделения переменных, но потом запросто включается в общее решение как частное при $C=0$. При решении уравнения как линейного с постоянными коэффициентами оно получается по готовой формуле без всякого обособления. Там нет условия не равенства нулю постоянных коэффициентов.

В п. 2 тоже приведено частное решение при общем $y=\dfrac {x^2}2+C$ и $C=0$.

Часто особым называют решение, которое в применяемом способе решения отделяют из некоторых соображений, либо которое не может быть получено из написанной формулы общего ни при каких значениях параметра (но надо сознавать, что формул общего решения может быть много. Например нулевое решение из п.1 можно обозвать особым, если мне вздумается написать общую формулу в виде $y=\dfrac{e^{-x}}C$).

Такое понимание "особости" даётся более в методологических целях.

В более строгом и содержательном смысле "особое решение" это решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения. Например, нулевое решение для уравнения $y'=y^{3/2}$
Слова "нулевое решение" столь же строги, как и "особое решение"

[Mr. Brom]

НУ вот как бы самое понятное определение Особого решения - это где нарушается единственность..так вот вопрос - Особые решения - это ТОЧКИ, или Области ? При том не ясно, как определить единственность кроме теоремы Пикара) ? Пост выше не дал мне понять этих вещей..

[coll3ctor]

Mr. Brom в сообщении #485093 писал(а):

Всего, как я понял, существует три вида решений: Частное, Особое и Общее.. Где общее - это через константу, а Особое и Частное определяются наличием/отсутствием единственности.
Так вот если с Общим всё более менее ясно, то по поводу единственности возникает множество вопросов..

Думаю лучше будет разбираться на примерах..
Итак, пример 1:
$y'+y=0$
$y=C \cdot e^{-x}$ - общее решение.
Если брать конкретные значения константы не равные 0, то будут получаться частные решения. А существуют ли у этого уравнения особые решения ? И чем является решение y=0 (тождественно) ?

Пример 2:
$y'=x$
$ y=1/2 \cdot x^{2}$ - это частное решение ?

Ну и главный вопрос - единственность определяется в точке/интервале/области определения ?
Из методов определения единственности знаю лишь теорему Пикара, но она даёт единственность лишь на промежутке Пеано, а как быть насчет остальной области ?

В общем, в этой теме я полный профан, но нужно знать всё досконально..

а нам объясняли, что частное решение - это одна из "веточек" интегральных кривых...

[Portnov]

Особые решения — это функции (ну или кривые), как и все остальные решения ДУ.

[coll3ctor]

Portnov в сообщении #485223 писал(а):

Особые решения — это функции (ну или кривые), как и все остальные решения ДУ.

то есть график особого решения проходит через точку $(x_o,y_o)$ вроде бы.как то так

[Mr. Brom]

Может попробуете геометрически объяснить частное и особое решение ? Я вот пока не втыкаю ((

Я понял, что особое и частное решение - это конкретные функции (ну или тождества вроде равенства 0). Но как их различать ? И существуют ли не те и не те решения, а какие-то другие ?

-- 22.09.2011, 16:25 --

Сейчас нашёл утверждение, что если выполняется непрерывность производной по y, то имеет место единственность. Это так ?

-- 22.09.2011, 16:32 --

Если в окрестности точки $(x_0, y_0)$ плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность $f(x, y)$ и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая (*которая является частным решением ?*). Если эти условия нарушаются, точку $(x_0, y_0)$ называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т. е. задача , $y(x_0) = y_0$ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением.

Источник http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/du1/du112.htm, в самом низу пункт "14.3.6. Особые точки и особые решения уравнения первого порядка.", там же есть примеры.

Сейчас осмысливаю..тему не закрывайте, т. к. ещё могут возникнуть вопросы )

[Mr. Brom]

Итак..стало более-менее понятно..
Выходит, что:
Особое решение - решение (интегральная кривая) состоящее из особых точек. Особая точка - это точка неединственности решения (либо их много, либо его нет. /хотя поговаривают что возможно и наличие единственного решения через эту точку/).
Частное решение - это в каждой точке которого выполняется единственность.
Единственность определяется выполнением двух условий: непрерывность самой функции и её первой производной по У.

Но вот вопрос - есть ли решения, которые не являются Ни частными, Ни особыми ? Если да то какие и как их классифицировать ?
Ещё интересует момент: как быть с существованием особых точек, через которые проходит лишь одна интегральная кривая ? Почему условие единственности не выполняется, но по факту единственность присутствует ?

Пока с этим не разберусь, не вижу смысла идти дальше..

ЗЫ
геометрически я представляю себе это так:
мы берем область $D$ на которой задана функция $f(x,y)$, и для каждой точки определяем (предположим что мы на такое способны)
выполнение/не выполнение условий единственности (Как я понимаю третьего не дано, либо точка является точкой единственности, либо нет). Далее мы берем конкретное решение и смотрим по каким точкам оно проходит. Если оно проходит Только по точкам единственности, то решение - частное. Если Только по точкам неединственности - то особое. А вот если оно проходит и через такие, и через такие точки, то как это решение назвать ?

ЗЗЫ
/Для удобства особые точки, через которые не проходит ниодной интегральной кривой буду называть "Очень особыми точками"./
"любая кривая, составленная из частей особого и неособых (предположим частных) решений, также является интегральной кривой." - если это утверждение верно, то выходит, что любая кривая, нарисованная "не отрывая руки" (если не вдаваться в задание её аналитическим способом), не проходящая через Очень особые точки, является интегральной кривой (решением) исходного диффура (при том если у нас есть начальные условия, то достаточно чтобы кривая проходила через эту точку).

[gris]

А где это Вы отыскиваете по одиночке разнообразные утверждения. Возьмите учебник и читайте его подряд с первой строчки. Для единственности решения задачи Коши нужна ещё ограниченность производной по $y$, даже достаточно выполнения условий Липшица для неё (и даже оно не необходимо, там есть, кажется, ещё какие-то страшные теоремы).
Единственность решения тоже вещь тонкая. Оно выполняется на некотором интервале, а не обязательно глобально. Вот геометрический пример. Для уравнения $y'=y^{2/3}$ интегральными кривыми будут кубические параболы, сдвинутые вдоль оси абсцисс. Через каждую точку вне этой оси будет проходить ровно одна парабола - частное решение уравнения, дополненного начальным условием. В некоторой окрестности точки это будет единственное решение. На всей плоскости — нет. Дело портит(или красит) особое решение, которое представлено интегральной кривой в виде самой оси абсцисс. И через каждую точку оси проходит ещё и парабола. То есть нет окрестности, в которой бы выполнялась единственность. А на самом деле там в каждой хоть малюсенькой окрестности тысячи и тысячи интегральных кривых.

*** Пардон, Вы написали длинное сообщение, а я его ещё не прочитал.
Вот примерно так. А строго надо в учебнике смотреть, порешать примеры, построить эти самые кривые, проанализировать контрпримеры. Тогда и придёт понимание.

Вот про частные и прочие решения. Если семейство интегральных кривых у нас описано неким уравнением, зависящим от нескольких параметров, то каждый набор параметров, которому соответствует ровно одна кривая и будет давать частное решение — вот эту самую кривую. При этом она может проходить по бесконечному числу особых точек. Вот для моего уравнения через любую точку плоскости может проходить бесчисленное множество частных решений. Они состоят из нижней части одной параболы, возможного кусочка оси абсцисс, и верхней части другой параболы. И каждая такая кусочная кривая будет частным решением.
Вы просто порисуйте без всяких формул.

[Mr. Brom]

gris, я написал много дополнений к посту, но это всё вода..
Конкретно вопрос обстоит так:
У нас есть диффур. Берем определенное решение. Что нужно сделать чтобы утверждать Это решение является Частным/Особым или ни тем ни другим, просто Решением ?

[gris]

Особое решение, в частности, является частным .
Слово "частное" применяется лишь при параметрическом описании семейства кривых.

[Mr. Brom]

Если считать особым решением при $a<x<b$ - решение в каждой точке которого не выполняется единственность.
А частным - в каждой точке которого выполняется, то:
(вот в этом посте определяют так же post431498.html#p431498)

Во тут прекрасно нарисовано:


но как же быть с тем, что ось абсцисс является особым решением (все точки - особые). Выходит, что частными решениями являются два семейства - верхние и нижние ветви не включая нуль и уходящие в бесконечность. Или я не прав ?

[gris]

Частное решение это не семейство. На всей плоскости любое частное решение можно составить из лучей или отрезков оси абсцисс и кусков парабол, как я уже писал. В области, не пересекающей ось абсцисс, через каждую точку проходит ровно одно решение.
Но я, конечно, не могу спорить и с определением частного решения, как не проходящего ни через одну общую точку. Это совершенно непринципиально и в разных курсах определяется по разному.
Лучше посмотрите у старосты конспект лекций

[Mr. Brom]

gris в сообщении #485265 писал(а):

На всей плоскости любое частное решение можно составить из лучей или отрезков оси абсцисс и кусков парабол, как я уже писал.

Преподаватель даёт именно то определение частного и особого решения, которые я пишу. Но вот подробного объяснения в конспекте нет. Поэтому я и пытаюсь разобраться сам. (Странно, что не принято единого определения Частного и Особого решения)

Получается, что если следовать определению, то частных решений в случае функции $y'=y^{2/3}$ не существует вообще, так как через любую точку можно составить бесконечно много решений (беря разные ветви и часть оси абсцисс). А особым решением является лишь ось абсцисс. Или я опять не прав ?)

[gris]

Ну можно, например, рассматривать уравнение только в верхней полуплоскости без оси абсцисс и тогда через каждую точку области будет проходить единственная кривая, которую можно уже в любом смысле назвать частным решением.

Дело ещё в том, в какой предметной области предполагается использовать ваши познания. Большинство вычурных контрпримеров или экзотических функций далеки от реального мира в средних масштабов. Впрочем, не буду