Ряд из обратных к простым числам

[maxal]

yvanko писал(а):

А как доказать иррациональность дзеты от двух?

Трансцендентность $\frac{\pi^2}{6}$ следует из трансцендентности $\pi.$

[RIP]

maxal писал(а):

yvanko писал(а):

А как доказать иррациональность дзеты от двух?

Трансцендентность $\frac{\pi^2}{6}$ следует из трансцендентности $\pi.$

Иррациональность числа $\pi^2$ можно доказать и непосредственно. Например, так (без деталей):
Пусть $\pi^2=\frac ab,\ a,b\in\mathbb{N}$. Положим

$$f(x)=\frac{b^nx^{2n}(\pi-x)^{2n}}{(2n)!}$$

и

$$F(x)=\sum\limits_{k\geqslant0}(-1)^kf^{(2k)}(x)$$

.
Тогда
$I=\int\limits_0^{\pi}f(x)\sin x\,dx=F(0)+F(\pi).$
Несложно убедиться, что $F(\pi)=F(0)\in\mathbb{Z}$, и при достаточно большом $n\quad I\in(0;1)$. Противоречие.

[Luizo4]

@ RIP: Я сходу вспомнил только 4 штуки. Считаю только простые, не использующие оценки Чебышёва[/b], асимптотический закон распределения простых или формулы, выписанные выше.

И какие есть варианты использующие оценки Чебышёва?



(не знаю, как выделить или ответить на то сообщение)

[Pphantom]

Luizo4, выделить нужный участок и нажать кнопку "Вставка" снизу справа у цитируемого сообщения. Но лучше сначала заметить, что вы пытаетесь отвечать на сообщение пятнадцатилетней давности.

[Luizo4]

да уж, я об этом тоже уже думала, но всё же можно попробовать.
ну всё равно спасибо ;)

[ozheredov]

Lion в сообщении #46184 писал(а):

ряд из обратных к простым числам-близнецам $\sum\limits_{p_1,p_2-\text{близнецы}}^\infty\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}\right)$ сходится

А зачем $\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}$? Близнецы же все равно отличаются на двойку, и хвост из двойных $\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}$ -- это удвоенный хвост из одинарных. Не изящнее ли постановка задачи "Доказать сходимость из обратных простых, у которых есть правый или левый близнец"?

[Lia]

ozheredov
Вот как Вам ответят из 2006 года?