О-символика (асимптотика логарифма и степени)

[RFZ]

Здравствуйте!
Как показать, что $\ln^a x=o(x^\varepsilon)$ при $x \to \infty$
Подскажите пожалуйста.

[PAV]

Достаточно показать для $\alpha=1$, общий случай легко сводится к этому частному.

[RFZ]

Для случая $\alpha=1$ я сам понял. А для общего не совсем понятно.

[PAV]

$\varepsilon$ - любое

Возьмите $\varepsilon/\alpha$

[RFZ]

Не могли бы Вы чуть подробнее написать?
Я Вас не понял

[PAV]

Сформулируйте утверждение, которое Вы хотите доказать, в явном виде через пределы.

Начинаться должно так: "Для любых $\varepsilon>0$ и $\alpha>0$..."

[RFZ]

Для любых $\varepsilon > 0$ и $\alpha >0 $ $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln^{\alpha} x}{x^{\varepsilon}}=0$

[PAV]

Если для $\alpha=1$ Вы утверждение доказали, то возьмите $\varepsilon/\alpha$ и возведите равенство в степень $\alpha$

[RFZ]

Можно ли предел возводить в степень?

[PAV]

А что можно сказать про функцию $t^\alpha$ при $t\to0$?

[RFZ]

Стремится к нулю

[PAV]

Ну вот

[RFZ]

И что?

[PAV]

Рассмотрите

$$ t=\frac{\ln x}{x^{\varepsilon/\alpha}} $$

Вы знаете, что $t\to 0$. Значит, $t^\alpha$...