Четность / нечетность функции (Демидович, 1972, 23(д))

[loko]

Здравствуйте, столкнулся с довольно простой задачей, но мой ответ не сходится с тем, который дан в задачнике. Это задача №23 (д) из Демидовича1972 года.
Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
$f(x)=\lg(x+\sqrt{1+x^2})$

Мой ход решения:
$f(-x)=\lg(-x+\sqrt{1+x^2})\not=f(x)\not=-f(x)$
Из чего я сделал вывод, что функция не является ни четной, ни нечетной.
Но в ответах написано: нечетная. Это опечатка или я в чем-то ошибся?

[ИСН]

$\lg(-x+\sqrt{1+x^2})\not=f(x)\not=-f(x)$
Откуда Вы это знаете?

[loko]

Просто сравнил исходные данные с $f(-x)$

[Алексей К.]

Я посчитал на калькуляторе. Похоже, Вы, loko, неправы.

[nnosipov]

А почему Вы считаете справедливыми те неравенства, которые написали? Может, Вам просто показалось, что они верны.

[ИСН]

Сравнили? Как? С виду непохоже? Ну и что? 2+2 тоже с виду совершенно непохоже на 4, а между тем это 4 и есть!

[bot]

Не похожи ещё не означает, что различны. Пример $\cos^2 x=1-\sin^2 x$
А вдруг и здесь аналогичный пример?

-- Ср сен 21, 2011 21:22:20 --

Это только у меня на экране вместо моих формулок корябушки?

Корябушки сейчас исправят. АКМ

[loko]

Хорошо, привожу ход рассуждений:
$f(-x)=\lg(-x+\sqrt{1+(-x)^2})=\lg(-x+\sqrt{1+x^2})$
И исходную функцию я не могу преобразовать так, чтобы получился член $\lg(-x)$ Укажите, пожалуйста, что именно в этой цепи рассуждений неправильно.

[nnosipov]

bot в сообщении #484897 писал(а):

(Оффтоп)

Это только у меня на экране вместо моих формулок корябушки?

(Оффтоп)

У меня тоже.

[ИСН]

Не надо исходную. Если два числа равны, то их разность равна нулю. Вот разность напишите и преобразовывайте.

(Оффтоп)

И у меня. Глюк форума, такое уже бывало.

[bot]

Пока всё правильно - нет попыток сравнить $f(-x)$ и $-f(x)$

[Sonic86]

loko, выпишите соотношение $f(-x)=-f(x)$ целиком и максимально его упростите, для начала избавьтесь от логарифмов.

[Алексей К.]

ИСН в сообщении #484902 писал(а):

Вот разность напишите и преобразовывайте

Сумму, по моему, надо преобразовывать.
Точнее, сосчитать для одного икса и минус-икса на калькуляторе, чтобы понять --- два числа подозрительно равны или подозрительно противоположны? И тогда преобразовывать.

[Whitaker]

Умножьте на что-нибудь аргумент логарифма.

[loko]

ИСН, спасибо за рекомендацию. Помогло.
$f(x)+f(-x)=\lg(x+\sqrt{1+x^2})+\lg(-x+\sqrt{1+x^2})= \lg((\sqrt{1+x^2}+x)\cdot(\sqrt{1+x^2}-x))=\lg(1+x^2-x^2)=\lg 1=0$
Откуда делаю вывод, что $f(x)$- нечетная функция.