Основы теории управления. Задание 1.

[Mikle1990]

Найти решение уравнения с использованием преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях:
$y'''+2y''+y'=4e^t$

На данный момент у меня 2 вопроса:
1. Преобразования Лаплас. Как его делать?
По аналогии с тем, что у меня в тетради, я могу написать вот что:
$p^{3}Y(p)+2p^{2}Y(p)+pY(p)=$(не знаю, что здесь писать)
2. Я как понял, решение всей задачи складывается из алгоритма - сначала это, потом, то... Напишите пожалуйста этот алгоритм.

[ИСН]

Пора серьёзно поговорить о том, откуда берутся дети. Видите ли, Mikle1990, есть такое понятие - производная...

[gris]

$y'=\dfrac {dy}{dt}$, первая производная. ( а там еще вторая и третья).
Надеюсь, Вы не это спрашивали А то какой уж там Лаплас. Это уравнение можно решить стандартно как линейное с постоянными коэффициентами и хорошей правой частью. А Вам предлагается с помощью изображений-орининалов. Звон слышен в третьем пункте. Алгоритм изложен в любом учебнике. Случай простой.

[AKM]

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. И мне чо-то лень объяснять, почему.

В методичке для модераторов точно что-то было про такие темы.

(Оффтоп)

Я не ошибся.

[Mikle1990]

Найти решение уравнения с использованием преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях:
$y'''+2y''+y'=4e^t$
$y'(0)=y(0)=0$

Решение.
Нахожу в таблице что $e^{at}=\frac{1}{p-a}$
Допустим, что у меня $a=1$, тогда $e^{t}=\frac{1}{p}$

Преобразование Лапласа.
$p^{3}Y(p)+2p^{2}Y(p)+pY(p)=\frac{4}{p}$
$Y(p)=\frac{4}{p(p^3+2p^2+p)}=\frac{4}{p^2(p^2+2p+1)}=$
Если это правильно, то теперь мне надо разложить всё это дело на простейшие дроби.
$=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{(p+1)^2}+\frac{D}{(p+1)}$
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
$4=A(p+1)^2+Bp(p+1)^2+Cp^2+Dp^2(p+1)$

Если вдруг, каким-то чудом, всё что выше - правильно, то скажите, что дальше делать, а то я забыл. Ясно, что надо найти $A, B,C, D$, a потом найти корни($p$), но я не помню, как это сделать. Припоминаю, что разные способы есть. Подскажите, как называется способ, который здесь нужен.

[Mikle1990]

$Y(p)=\frac{4}{p(p^3+2p^2+p)}=\frac{4}{p^2(p^2+2p+1)}=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{p^2+2p+1}$
так правильно?)

И дальше всё тот же вопрос, что и в предыдущем сообщении.

[Someone]

Mikle1990 в сообщении #485034 писал(а):

Если вдруг, каким-то чудом, всё что выше - правильно

Конечно, неправильно. Вы разве сами не видите, что $e^{at}\neq\frac 1{p-a}$? Зачем же такое пишете? Там какой-то значок должен быть для обозначения изображения (например, $\leftarrow\hspace{-0.3em}:$) Кроме того, из выражения $\frac 1{p-a}$ при $a=1$ никак не получить $\frac 1p$.

Что касается того, что делать дальше, то следующий шаг - составление системы уравнений для неизвестных коэффициентов. Для этого можно либо подставлять в полученное Вами равенство (после исправления) разные значения $p$ (в первую очередь - корни знаменателя, если они есть), либо сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $p$ слева и справа (никто не запрещает, естественно, использовать сразу оба способа).

Пока писал, Вы написали новое сообщение.

Mikle1990 в сообщении #485082 писал(а):

$Y(p)=\frac{4}{p(p^3+2p^2+p)}=\frac{4}{p^2(p^2+2p+1)}=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{p^2+2p+1}$
так правильно?)

Нет, это уже совсем неправильно.