У Вас жуткая путаница в понятиях. Пока не будет точных определений, разобраться будет нельзя.
1) Какое множество называется конечным?
2) Какое множество называется счётным?
3) Какое множество называется несчётным?
4) Является ли термин "несчётное множество" указанием на какую-то конкретную мощность?
5) Какая наименьшая несчётная мощность?
6) Что такое континуум? (Речь идёт о мощности.)
7) В чём состоит континуум гипотеза? (Совсем не в том, что Вы написали.)
1. Множество с конечным количеством элементов.
Что значит - с конечным числом элементов?
Конечным называется множество, равномощное какому-нибудь натуральному числу (но Вам нужно разобраться с определением натурального ряда и натуральных чисел в теории множеств, иначе это бессмысленный набор слов). Если множество не является конечным, то оно называется бесконечным.
2. Перечислимое множество равномощное множеству целых числе, напримео рациональные.
Множество называется счётным, если оно равномощно натуральному ряду. Эта мощность обозначается
.
3. Множество вещественных числе. множество всех подмножеств счетного множества.
Множество называется несчётным, если оно не является ни конечным, ни счётным (впрочем, Вам об этом уже
писали).
4. Вещественные?
Термин "несчётное" не предполагает никакой конкретной мощности. Множество действительных чисел здесь просто наиболее известный пример несчётного множества, не более того.
5. Вещественные, в принципе множество всех подмножеств несчетного множества это следуюший шаг - т.е. мощность большего ранга.
Наименьшей несчётной мощностью является мощность множества всех конечных и счётных ординалов (Вам нужно разобраться с определением ординалов, чтобы понимать, о чём идёт речь). Эта мощность обозначается
.
6. Вещественные?
Континуум определяется как мощность множества всех действительных чисел и обозначается
. Доказывается, что
, где
- мощность множества всех подмножеств заданного множества мощности
.
7. В том что аксиоматикане определяет существует или нет множество имеющее промежуточную между счетным и несчетным. Т.е. как добавление так и добавления отрицания не противоречит остальным аксиомам.
Континуум-гипотеза состоит в утверждении, что
. Отрицание - в том, что
. И то, и другое совместимо с аксиомами ZFC, поэтому, опираясь только на аксиомы ZFC, невозможно указать несчётное множество, которое имело бы мощность меньше континуума. Если же принять отрицание континуум-гипотезы в качестве аксиомы, то такое множество немедленно обнаруживается (оно указано мной в пункте 5).