Интегрируемость, Фурье

[vlad_light]

Книга "A Wavelet Tour of Signal Processing - The Sparse Way 3rd ed - S. Mallat (AP, 2009), p. 38".

Цитата:

... The Fourier transform of the indicator function $f(t)=1_{[-1,1]}(t)$ is:
$\hat f(w)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt=\int\limits_{-1}^1e^{-jwt}dt=2\frac{\sin w}{w}$
This function is not integrable because $f$ is not continuous, but its square is integrable.

Что хотели этим сказать авторы учебника? Почему функция должна быть непрерывной?

[В.О.]

Неправильный вопрос.
Преобразование Фурье (и обратное к нему) интегрируемые на прямой функции преобразует в непрерывные. Это утверждение должно быть в учебнике.
Характеристическая функция отрезка разрывна. Следовательно, ее преобразование Фурье не интегрируемо.

[vlad_light]

Спасибо!

Цитата:

Характеристическая функция отрезка разрывна. Следовательно, ее преобразование Фурье не интегрируемо.

Вы имели ввиду преобразование Фурье характеристической функции - разрывная функция? Потому что сама характерестическая функция интегрируема на прямой, следовательно её преобразование Фурье должно быть непрерывной функцией.
Дальше написано, что квадрат этой функции интегрируем. Но что изменится, если мы перейдём из $L_1$ в $L_2$?

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #484545 писал(а):

Книга "A Wavelet Tour of Signal Processing - The Sparse Way 3rd ed - S. Mallat (AP, 2009), p. 38".

Цитата:

... The Fourier transform of the indicator function $f(t)=1_{[-1,1]}(t)$ is:
$\hat f(w)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt=\int\limits_{-1}^1e^{-jwt}dt=2\frac{\sin w}{w}$
This function is not integrable because $f$ is not continuous, but its square is integrable.

Что хотели этим сказать авторы учебника? Почему функция должна быть непрерывной?

Там часом интегрируемость не по Лебегу имелась в виду?
Если "да", то $|\hat f(w)|=\Big| \dfrac{\sin w}{w} \Big|$ не интегрируема (в том смысле, что интеграл расходится) , так как получается нечто вроде гармонического ряда.
Но ее квадрат $\hat f^2(w)=\Big| \dfrac{\sin w}{w} \Big|^2$ на бесконечности убывает быстрее и интеграл конечен.

-- Вт сен 20, 2011 17:21:24 --

Каким образом это связано с разрывностью $f$ с ходу сказать затрудняюсь.

[--mS--]

vlad_light в сообщении #484646 писал(а):

В.О. в сообщении #484569 писал(а):

Характеристическая функция отрезка разрывна. Следовательно, ее преобразование Фурье не интегрируемо.

Вы имели ввиду преобразование Фурье характеристической функции - разрывная функция? Потому что сама характерестическая функция интегрируема на прямой, следовательно её преобразование Фурье должно быть непрерывной функцией.

Нет, не так. Ещё раз то, что сказал В.О. Характеристическая функция отрезка $f(t)$ получается из своего преобразования Фурье $\hat f(w)$ путём обратного преобразования Фурье. Если бы $\hat f(w)$ была (абсолютно) интегрируемой, $f(t)$ была бы непрерывной. Но она не непрерывна. Следовательно, $\hat f(w)$ не является (абсолютно) интегрируемой.

С другой стороны, квадрат $\hat f(w)^2$ есть преобразование Фурье свёртки двух одинаковых характеристических функций $f(t)*f(t)$. Свёртка является непрерывной функцией. Поэтому аргумент про разрывность образа уже не проходит. Ну а интегрируемость квадрата очевидна.

[В.О.]

vlad_light в сообщении #484646 писал(а):

Вы имели ввиду преобразование Фурье характеристической функции - разрывная функция?

Нет. Преобразование Фурье характеристической функции непрерывно. Но не интегрируемо. Причем, не интегрируемо на бесконечности, т.к. "слишком медленно убывает".
В $L_2(R)$ есть теорема Планшереля (преобразование Фурье не меняет $L_2(R)$ норму). Возведение функции в квадрат "увеличивает скорость ее убывания на бесконечности" (в среднем). И квадрат преобразования Фурье становится интегрируемым. Это объяснение "на пальцах". Но и сам вопрос не очень конкретный.

--mS-- в сообщении #484685 писал(а):

Свёртка является непрерывной функцией.

Это смотря какие функции свертывать.

[--mS--]

В.О. в сообщении #484688 писал(а):

Это смотря какие функции свертывать.

Данные. Показать, как?

[vlad_light]

Спасибо, теперь стало понятнее

Цитата:

Каким образом это связано с разрывностью $f$ с ходу сказать затрудняюсь.

Вот и мне это не понятно... Ведь характерестическая ф-ция принадлежит $L_1$, а преобразование Фурье переводит функции из $L_1$ в непрерывные и, как выяснилось, иногда неинтегрируемые. Т.е., если функция разрывна, но интегрируема, то её преобразование Фурье - непрерывная неинтегрируемая функция, правильно?
И ещё (спешу, не успеваю посчитать):
$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin w}{w}e^{jwt}dw<+\infty$?
По-моему, да. Т.е. неинтегрируем только модуль?

[В.О.]

vlad_light в сообщении #484741 писал(а):

неинтегрируем только модуль?

По Лебегу функция интегрируема только вместе с ее модулем.

--mS-- в сообщении #484697 писал(а):

Показать, как?

Спасибо, не нужно. Непонятно, зачем при обсуждении интегрируемости квадрата преобразования Фурье упоминать свертку. Для данной функции все и так очевидно. В общем случае нужна теорема Планшереля, а не свертка.

[--mS--]

В.О. в сообщении #484784 писал(а):

Спасибо, не нужно. Непонятно, зачем при обсуждении интегрируемости квадрата преобразования Фурье упоминать свертку. Для данной функции все и так очевидно. В общем случае нужна теорема Планшереля, а не свертка.

Затем, чтоб (в контексте обсуждаемой цитаты из книги) показать причину, по которой не проходят предыдущие аргументы о неинтегрируемости первой степени. Мне казалось, выше это доступно изложено, нет?

[vlad_light]

$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin w}{w}e^{jwt}dw=\frac{1}{2\pi}(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin w \cos {wt}}{w}dw+j\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin w \sin wt}{w}dw)=$
$=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin w \cos {wt}}{w}dw=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\frac{1}{2}(\sin (w(1-t))+\sin (w(1+t)))}{w}dw=$
$=\frac{1}{4\pi}(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin (w(1-t))}{w(1-t)}d(w(1-t))+\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin (w(1+t))}{w(1+t)}d(w(1+t)))=$
$=\frac{1}{4\pi}(\pi sign (1-t) +\pi sign (1+t))=\frac{1}{2}1_{[-1,1]}(t)$
Я правильно посчитал?

Цитата:

По Лебегу функция интегрируема только вместе с ее модулем.

Это я слышал на уроках теории меры. Но вольфрам говорит, что:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin ax}{x}dx=\pi sign(a)$,
а $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\frac{sin ax}{x}|dx$ - расходится.

(Оффтоп)

Объясните, пожалуйста, на пальцах, зачем мы вводим преобразование Фурье в пространстве $L_2$? Пускай $\frac{\sin w}{w}$ не интегрируема абсолютно, но ведь преобразование Фурье от этой функции можно посчитать.

[_hum_]

Может, поможет разобраться...
Теорема. Если $f\in L_1(\mathbb{R})$ и в некоторой точке $x \in \mathbb{R}$ удовлетворяет условию Дини, то в этой точке выполняется равенство

$$f(x) = \mathrm{v.p.}\, \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda, \,\,\,\text{\it где }\, \hat{f}(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\lambda x}dx \text{ -- \it т.н. преобразование Фурье.} $$

Обратите внимание на асимметрию - "обратное преобразование Фурье" ищется как главное значение интеграла (v.p.)(ибо прямое преобразование, вообще говоря, не обязано давать функцию из $L_1(\mathbb{R})$).

[В.О.]

Цепочка вопросов обещает быть бесконечной.
На исходный вопрос ответ, кажется, дан. Извините, мой преподавательский энтузиазм на этом исчерпан. Может быть, кто-то подхватит эстафету? --mS--?

[--mS--]

(Оффтоп)

В.О. в сообщении #484932 писал(а):

Может быть, кто-то подхватит эстафету? --mS--?

А зачем уже, собственно? Незадолго перед Вашим сообщением _hum_ на все вопросы уже ответил

[vlad_light]

Спасибо за помощь В.О., а также всем остальным!

Цитата:

прямое преобразование, вообще говоря, не обязано давать функцию из $L_1(\mathbb R)$

Так бы и сразу:) Теперь понятно.

Цитата:

ищется как главное значение интеграла

Я это использовал при подсчёте интеграла $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin w}{w}e^{jwt}dw$.
Т.е. $L_2(\mathbb R)$ просто расширяет класс функций, которые являются образом преобразования Фурье. Более того, обратное преобразование Фурье для функций из $L_2(\mathbb R)$ корректно определено, правда может переводить в разрывные функции.
Если я правильно написал, то вопросов больше не имею.
Ещё раз спасибо!