Предел последовательности

[Whitaker]

Здравствуйте!
Рассмотрим последовательность $a_n=n^{\frac{1}{n^2}}$. По признаку двух милиционеров он сходится, потому что верно неравенство:

$1=n^0 \leq n^{\frac{1}{n^2}} \leq n^{\frac{1}{n}}$.
Правильно ли мое рассуждение?

С уважением, Whitaker.

[JMH]

Термин "два миллиционера" вижу впервые, но вобще-то последовательность монотонно убывающая и ограниченная снизу. Сойдётся - куда ж она денется?

[Dan B-Yallay]

JMH в сообщении #483882 писал(а):

Термин "два миллиционера" вижу впервые

2 милиционера

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #483866 писал(а):

Правильно ли мое рассуждение?

А как насчет доказательства сходимости $n^{\frac{1}{n}} \to 0$?

[coll3ctor]

Sonic86 в сообщении #483888 писал(а):

Whitaker в сообщении #483866 писал(а):

Правильно ли мое рассуждение?

А как насчет доказательства сходимости $n^{\frac{1}{n}} \to 0$?

проще перейти к $n^{-n} = (\frac{1}{n})^n$ и тут уже нечего же мучаться

[Klad33]

Sonic86 в сообщении #483888 писал(а):

А как насчет доказательства сходимости $n^{\frac{1}{n}} \to 0$?

Доказывать строго научно лучше всего в системе Maple:


И ежу видно, что при движении к нулю справа, будет четкий ноль, а вот слева - разброд и шатание, то бишь неопределенность!

[alcoholist]

Sonic86 в сообщении #483888 писал(а):

А как насчет доказательства сходимости $n^{\frac{1}{n}} \to 0$?

coll3ctor в сообщении #483894 писал(а):

проще перейти к $n^{-n} = (\frac{1}{n})^n$ и тут уже нечего же мучаться

Klad33 в сообщении #483896 писал(а):

Доказывать строго научно лучше всего в системе Maple

вот это последовательность!

[Sonic86]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #483897 писал(а):

вот это последовательность!

........ .
........ .. .
........ .. .
........ .. .
. .

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #483888 писал(а):

Whitaker в сообщении #483866 писал(а):

Правильно ли мое рассуждение?

А как насчет доказательства сходимости $n^{\frac{1}{n}} \to 0$?

Зачем Вы так пишите? Ничего смешного я не вижу. Она стремится к 1.

-- Вс сен 18, 2011 11:48:03 --

Если Вам не трудно скажите пожалуйста правильно ли я решил?

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #483936 писал(а):

Зачем Вы так пишите? Ничего смешного я не вижу. Она стремится к 1.

А, блин, я неправильно написал Надо доказать, что она стремится к 1 . Ну раз Вам это видно, значит все замечательно.

Whitaker в сообщении #483936 писал(а):

Если Вам не трудно скажите пожалуйста правильно ли я решил?

Я бы предпочел, чтобы Вы явно описали, почему $n^{\frac{1}{n}} \to 1$, поскольку это не совсем тривиально. Тогда будет все замечательно.

[Whitaker]

Докажем, что $\sqrt[n]{n} \to 1$ при $n \to \infty$. Т.е. нужно показать, что $\sqrt[n]{n}-1=\alpha_n$, где $\alpha_n$ - бесконечно малая последовательность. Сделаем преобразования:
$\sqrt[n]{n}-1=\alpha_n$
$\sqrt[n]{n}=1+\alpha_n$
$n=(1+\alpha_n)^n$
Раскрывая скобку мы получим:
$n=1+n\alpha_n+\dfrac{n(n-1)}{2}{\alpha_n}^2+...>\dfrac{n(n-1)}{2}{\alpha_n}^2$
Далее имеем следующее:
$0<\alpha_n < \sqrt{\dfrac{2}{n-1}}$
Следует, что $\alpha_n \to 0$ при $n \to \infty$

[Sonic86]

Ааа, сурово.
Можно так: $\lim\limits_{n \to + \infty} n^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{t \to + \infty} e^{\frac{\ln t}{t}}=1$ так как $L=\lim\limits_{t \to + \infty} \frac{\ln t}{t}=0$ - по Лопиталю, либо через замену $t=e^s, s \to + \infty$:

$L=\lim\limits_{s \to + \infty} \frac{s}{e^s}=\lim\limits_{s \to + \infty} \frac{s}{1+s+\frac{s^2}{2!}+\frac{s^3}{3!}+...}=0$

[alcoholist]

последовательности до Лопиталей изучают: заменить Лопиталя Штольцем

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #483952 писал(а):

Ааа, сурово.
Можно так: $\lim\limits_{n \to + \infty} n^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{t \to + \infty} e^{\frac{\ln t}{t}}=1$ так как $L=\lim\limits_{t \to + \infty} \frac{\ln t}{t}=0$ - по Лопиталю, либо через замену $t=e^s, s \to + \infty$:

$L=\lim\limits_{s \to + \infty} \frac{s}{e^s}=\lim\limits_{s \to + \infty} \frac{s}{1+s+\frac{s^2}{2!}+\frac{s^3}{3!}+...}=0$

Уважаемый Sonic86 спасибо!
Мое доказательство тоже верное?

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #483984 писал(а):

Мое доказательство тоже верное?

Конечно верное я Вам просто показываю как можно. Думаю, Вы не против.

alcoholist в сообщении #483973 писал(а):

последовательности до Лопиталей изучают: заменить Лопиталя Штольцем

А у нас в универе Штольца не было совсем