Плотность распределения функции от двух случайных величин

[re3burn]

Задание. Найти плотность распределения случайной величины $$\varphi = \frac \xi {\eta}$, если $ \xi$ и $ \eta$ - независимые случайные величины, имеющие плотности вероятности $f_{\xi}(x)$ и $f_{\eta}(y)$ соответственно.
Вычислить также плотность случайной величины $\varphi$, если:
а) $\xi$ и $\eta$ имеют равномерное распределение на $[0, a], a>0$;
б) $\xi$ и $\eta$ имеют распределение Рэлея с $\sigma>0$:

$$ f_{\xi}(x)=\begin{cases} 0,x<0\\ \frac x {\sigma^2} e^{-\frac {x^2} {2 \sigma^2}},x\geqslant 0.} \end{cases}$$

Решение. Функцию распределения величины $\varphi$ находим по формуле

$$ F_{\varphi}(z)=P(\varphi<z)=P(\frac \xi {\eta}<z)=\iint\limits_ {\frac x {y}<z}\ f(x,y)dxdy $$

Т.к. величины $\xi$ и $\eta$ независимы, то $f(x,y)=f_{\xi}(x)\cdot f_{\eta}(y)$.
Рассмотрим 2 случая:
1) $z<0$:

$$F_{\varphi}=P(\frac {\xi} {\eta} <z)=\iint\limits_ {\frac x {y}<z}\ f_{\xi}(x)\cdot f_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_ {-\infty}^0\ f_{\xi}(x)dx\int\limits_ {0}^{\frac x z}\ f_{\eta}(y)dy + \int\limits_ {0}^{\infty}\ f_{\xi}(x)dx\int\limits_ {\frac x z}^{0}\ f_{\eta}(y)dy$$

2) $z>0$:

$$F_{\varphi}=P(\frac {\xi} {\eta} <z)=\iint\limits_ {\frac x {y}<z}\ f_{\xi}(x)\cdot f_{\eta}(y)dxdy=\int\limits_ {-\infty}^0\ f_{\xi}(x)dx\int\limits_ {0}^{\frac x z}\ f_{\eta}(y)dy + \int\limits_ {0}^{\infty}\ f_{\xi}(x)dx\int\limits_ {\frac x z}^{0}\ f_{\eta}(y)dy$$

Пока верно или есть ошибки?

[--mS--]

Во второй строчке проверьте пределы для $y$.

Но вообще-то неравенство $\frac{x}{y}<z$ решается либо как $x<yz$, либо как $x>yz$, и зависит это лишь от знака $y$. Иными словами, $-\infty<x<yz$ при $0<y<+\infty$, и $yz<x<+\infty$ при $-\infty < y <0$, да и всё. Два интеграла.