Есть ли пример множества больше счетно но меньше несчетного?

[Dan B-Yallay]

erwins в сообщении #483158 писал(а):

Вполне допускаю, что было доказано, что существование множества промежуточной мощности не противоречит система ZFC, но не было построенно такое множество.

Если бы такое множество можно было построить, то вопрос о независимости континуум гипотезы был бы однозначно решен.

-- Ср сен 14, 2011 14:17:00 --

Упс. Опередили.

[JMH]

Но ведь как раз была доказана независимость континуум-гипотезы от ZFC, т.е. было доказано, что её (конт.-гипотезу) в рамках ZFC невозможно ни доказать ни опровергнуть.

[Someone]

Someone в сообщении #483132 писал(а):

У Вас жуткая путаница в понятиях. Пока не будет точных определений, разобраться будет нельзя.
1) Какое множество называется конечным?
2) Какое множество называется счётным?
3) Какое множество называется несчётным?
4) Является ли термин "несчётное множество" указанием на какую-то конкретную мощность?
5) Какая наименьшая несчётная мощность?
6) Что такое континуум? (Речь идёт о мощности.)
7) В чём состоит континуум гипотеза? (Совсем не в том, что Вы написали.)

erwins в сообщении #483135 писал(а):

1. Множество с конечным количеством элементов.

Что значит - с конечным числом элементов?
Конечным называется множество, равномощное какому-нибудь натуральному числу (но Вам нужно разобраться с определением натурального ряда и натуральных чисел в теории множеств, иначе это бессмысленный набор слов). Если множество не является конечным, то оно называется бесконечным.

erwins в сообщении #483135 писал(а):

2. Перечислимое множество равномощное множеству целых числе, напримео рациональные.

Множество называется счётным, если оно равномощно натуральному ряду. Эта мощность обозначается $\aleph_0$.

erwins в сообщении #483135 писал(а):

3. Множество вещественных числе. множество всех подмножеств счетного множества.

Множество называется несчётным, если оно не является ни конечным, ни счётным (впрочем, Вам об этом уже писали).

erwins в сообщении #483135 писал(а):

4. Вещественные?

Термин "несчётное" не предполагает никакой конкретной мощности. Множество действительных чисел здесь просто наиболее известный пример несчётного множества, не более того.

erwins в сообщении #483135 писал(а):

5. Вещественные, в принципе множество всех подмножеств несчетного множества это следуюший шаг - т.е. мощность большего ранга.

Наименьшей несчётной мощностью является мощность множества всех конечных и счётных ординалов (Вам нужно разобраться с определением ординалов, чтобы понимать, о чём идёт речь). Эта мощность обозначается $\aleph_1$.

erwins в сообщении #483135 писал(а):

6. Вещественные?

Континуум определяется как мощность множества всех действительных чисел и обозначается $\mathfrak c$. Доказывается, что $\mathfrac c=2^{\aleph_0}$, где $2^{\tau}$ - мощность множества всех подмножеств заданного множества мощности $\tau$.

erwins в сообщении #483135 писал(а):

7. В том что аксиоматикане определяет существует или нет множество имеющее промежуточную между счетным и несчетным. Т.е. как добавление так и добавления отрицания не противоречит остальным аксиомам.

Континуум-гипотеза состоит в утверждении, что $2^{\aleph_0}=\aleph_1$. Отрицание - в том, что $2^{\aleph_0}>\aleph_1$. И то, и другое совместимо с аксиомами ZFC, поэтому, опираясь только на аксиомы ZFC, невозможно указать несчётное множество, которое имело бы мощность меньше континуума. Если же принять отрицание континуум-гипотезы в качестве аксиомы, то такое множество немедленно обнаруживается (оно указано мной в пункте 5).

[erwins]

Спасибо за разъяснение. Но ответа на вопрос не получил все таки.

Пусть у нас отрицание континиум гипотезы т.е. $2^{\aleph_0}>\aleph_1$, как из ZFC и отрицания континиум гипотезы построить множество мощностью $\aleph_1$

[Null]

По отрицанию континуум гипотезы такое множество существует - берем его)).
В системе этих аксиом вполне конструктивное доказательство.
Например, в аксиоматике действительных чисел говориться что существует число 1. А попробуйте ка сделать его конструктивным.

[Someone]

erwins в сообщении #483495 писал(а):

как из ZFC и отрицания континиум гипотезы построить множество мощностью $\aleph_1$

Пункт 5.

[master]

(Оффтоп)

Множество натуральных чисел бесконечно?... :бурчит:
Везет же вам, у меня оно ни конечное, ни бесконечное. При другом рассмотрении вообще конечное, грустно.

[Joker_vD]

master
Уж не знаю, что за логикой и/или аксиоматикой множеств вы пользуетесь, но $n \mapsto n+1$ устанавливает биекцию между $\mathbb N$ и $\mathbb N \diagdown \{1\} \subsetneq \mathbb N$, тут и аксиомы выбора не нужно. Может, просто у вас натуральные числа не образуют множества?

[master]

Joker_vD в сообщении #484692 писал(а):

Может, просто у вас натуральные числа не образуют множества?

почему же образуют, только где ж их взять бесконечное количество, я добавляю,добавляю,добавляю,добавляю.... а оно все конечное и конечно, а предел еще так далек...

[ИСН]

Бей конструктивистов!

[Joker_vD]

ИСН в сообщении #484793 писал(а):

Бей конструктивистов!

Да даже у них натуральных чисел бесконечно много.

[ИСН]

Ну значит, ультраконструктивистов.

[Joker_vD]

master в сообщении #484791 писал(а):

почему же образуют, только где ж их взять бесконечное количество, я добавляю,добавляю,добавляю,добавляю.... а оно все конечное и конечно, а предел еще так далек...

А вы возьмите сразу все натуральные числа. Или рассматривайте свою последовательность множеств, полученную "добавлением, добавлением", всю сразу, во всем ее бесконечном великолепии, это то же самое.

[master]

ИСН в сообщении #484793 писал(а):

Бей конструктивистов!

ну хоть не "в сортире мочить"

Joker_vD в сообщении #484825 писал(а):

А вы возьмите сразу все натуральные числа.

кто ж мне их даст, может быть вы?, давайте насыпайте, я даже лукошко приготовил.
Ладно серьезно, у меня есть "единица" и операция сложения, я не могу выполнить бесконечное количество операций.

[Joker_vD]

Хорошо.

1) $x = \varnothing$ — натуральное число.
2) $x = n \cup \{ n \}$ — натуральное число, если $n$ — натуральное число.

Множество, которому принадлежит любое натуральное число, и не содержащее элементов, которые не являются натуральными числами, называется множеством натуральных чисел.

P.S. Вообще, похоже на какой-то "антиинтуиционизм" — интуиционисты-то полагали бесконечность натуральных чисел самоочевидностью. То-то бы Гейтинг порадовался — у каждого была бы своя математика, кому что очевидно — то и верно. Мда.