Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов

[_hum_]

Да, конечно, х.ф. в первую очередь вводились для облегчения работы с суммами с.в., но общая идея-то все равно - еще одно (помимо ф.р.) удобное функциональное представление распределений вероятностей (кои изначально, как известно, являются функциями от множеств, а потому манипуляции с ними в исходном виде крайне ограничены).

ewert в сообщении #483240 писал(а):

хар. функция -- это именно преобразование Фурье от плотности.

Тут наверное стоило бы уточнить, что понимается под плотностью не абсолютно непрерывного распределения.

[farewe11]

Да, кстати, если вы, друзья, можете ещё и плотность объяснить - т.е. какой смысл она имеет, что она из себя представляет - прошу поделиться знанием. В таком случае я буду знать, что из себя представляют все начальные определения теорвера, начиная с матожиданий, заканчивая производящей функцией. Знать - в смысле представлять себе все эти определения, а не просто принимать как данность..

[arseniiv]

Так плотность легко предсталяется! Проще всех, наверно. Возьмём отрезки значений случайной величины одинаковой длины, на первом из которых плотность принимает большие значения, чем на втором. Вероятность того, что величина примет значение из первого отрезка, больше. Можно сказать, что значения, плотность в которых больше, «выпадают» чаще пропорционально.

Это следует из того, что

$$\mathsf P\left( x < X < x + \Delta x \right) = \int\limits_x^{x+\Delta x} f_X(x)\, dx \approx f_X(x) \Delta x,$$

если $f_X(x)$ на указанном промежутке меняется слабо — к примеру, когда длина промежутка $\Delta x$ мала (если ничего не перепутал).

[farewe11]

"Вероятность того, что величина примет значение из первого отрезка, больше."
Так это свойство описывается с успехом другими функциями. Опять-таки с помощью производящей функции с легкостью можем найти такие отрезки, где вероятность будет наибольшей..

[arseniiv]

Плотность самая естественная. Интегрируя именно её по интересующему множеству значений $A$, мы получим $\mathsf P(X \in A)$.

[ИСН]

farewe11, теперь у меня подозрения, что Вы под производящей функцией понимаете что-то своё. Какие отрезки? Она же для дискр....

[arseniiv]

Я так понял, что имеется в виду производящая функция моментов. Ну да, узнав из неё матожидание, мы можем попытаться судить, где больше плотность, а где нет (хотя возьмём, например, равномерное распределение: и планы рушатся). Конечно, надо ужасно много, наверно, играть с моментами производящей функцией моментов (раз уж написано, что она однозначно задаёт распределение), чтобы так же легко находить вероятности попадания сл. вел. в разные множества, как с помощью интегрирования плотности.

[farewe11]

(да, речь шла о производящей функции моментов)

Раз уж заговорили о производящих функциях, давайте осветим одну небольшую тему. Производящая функция (та, которая для дискр) совместного распределения: $F_{\xi_1, \xi_2} (z_1, z_2)$ по определению представляет собой нечто вроде:

$$\sum_{i,k} p(\xi_1=i, \xi_2=k)\cdot z_1^i\cdot z_2^k$$

Чтобы получить одномерную производящую функцию, скажем, для $\xi_1$, которая представляет собой $\sum_{i} p(\xi_1=i)\cdot z_1^i$, что нужно сделать? Откроем Феллера и прочитаем, что достаточно подставить $z_2=1$ в формулу для двойной п.ф. Эту тему я уже обсуждал ранее, и это правило было воспринято, как данное. Но почему так? Если мы подставим вместо $z_2$ - $1$, получим такое:

$$\sum_{i,k} p(\xi_1=i, \xi_2=k)\cdot z_1^i$$

Это похоже на требуемый вид одномерной п.ф., но не совпадает с ним! Вероятность-то совместного распределения никуда не делась! В чем же дело?

[farewe11]

или, возможно, в двойной производящей функции под $p_{i,k}$ вовсе не имеется в виду $p(\xi_1=i, \xi_2=k)$...

[_hum_]

farewe11 в сообщении #483333 писал(а):

Да, кстати, если вы, друзья, можете ещё и плотность объяснить - т.е. какой смысл она имеет, что она из себя представляет - прошу поделиться знанием.

Плотность распределения вероятностей проще всего понять, исходя из аналогии: вероятность множества - это его масса, тогда плотность распределения вероятности в точности будет соответствовать (линейной) плотности распределения массы на прямой, которую в школе проходили: $\rho(x) = m ( [x+\delta x, x - \delta x] ) / \text{\rm length} ( [x+\delta x, x - \delta x]), \delta x \rightarrow 0$.

Цитата:

Это похоже на требуемый вид одномерной п.ф., но не совпадает с ним! Вероятность-то совместного распределения никуда не делась! В чем же дело?

Ну, как не совпадает - просуммируйте по $k$ с учетом нормировки на единицу, получите, что нужно.

[farewe11]

_hum_ в сообщении #483421 писал(а):

просуммируйте по $k$ с учетом нормировки на единицу

Не понял. Можно чуть подробнее?)

[_hum_]

Между совместными и частными распределениями вероятностей, как полезно убедиться, имеется связь:

$$\sum_{k} p(\xi_1=i, \xi_2=k) = p(\xi_1=i),\quad \sum_{i} p(\xi_1=i, \xi_2=k) = p(\xi_2=k).$$

P.S. Да, кстати, нормировка тут и не нужна, это я поторопился, - достаточно счетной аддитивности вероятности.

[farewe11]

Ого. спасибо за формулу, думаю, она будет мне полезна! А как в этом убедиться? Ну, то есть, с чего это вдруг именно такая связь?

[_hum_]

Нууу, если имеется полная группа $\{D_k\}_k $ попарно несовместных событий (попарно несовместных событий, объединение которых в совокупности дает достоверное событие), то всякое событие $A$, очевидно, можно представить в виде разложения $A = \sqcup _k A D_k$. Тогда, пользуясь аддитивностью вероятности, получаем $P(A) = \sum_k P(A D_k)$.

Если положить теперь $A = , $D_k = , то поскольку в этом случае $\{D_k\}_k$ - как раз-таки полная группа попарно несовместных событий (проверьте!), можем воспользоваться сказанным выше и записать $P(\xi_1 = i) = \sum_k P(\xi_1 = i, \xi_2 = k)$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #483421 писал(а):

$\rho(x) = m ( [x+\delta x, x - \delta x] ) / \text{\rm length} ( [x+\delta x, x - \delta x]), \delta x \rightarrow 0$

Ну и обозначения…