Абстрактный гармонический анализ на тензорных полях

[Zhirayr]

Уважаемые господа,

я работаю на вопросах математической физики относящихся космологии и теории поля. В литературе по абстрактному гармоническому анализу можно встретить довольно полные изложения теории Фурье преобразований на локально компактных группах типа 1. Однако все они (по крайней мере какие я встречал) разрабатывают Фурье анализ на скалярных пространствах $L^1\puc L^2$ и т.д. При исследовании векторных полей мне понадобился анализ на тензорных полях (или более широко, на гильбертовых пространствах сечений в векторных расслоениях). Однако, на первый взгляд, очевидного естественного обобщения скалярной теории на тензорные поля нет. Например, для функции $f$ из соответствующего пространства на однородной группе $G$ определяется ее Фурье образ на дуальной группе $\hat G$ как $\hat f(k)=\int_Gd\mu(g)f(g)T_k(g)$, где $\mu(g)$ суть левая мера Хаара на $G$, $T_k(g)$- оператор унитарного неприводимого (или прямой суммы таких) подпредставления регулярного левого представления соответствующего элементу $k$ из $\hat G$. Для такого Фурье преобразования известны формулы Планшереля и т.д., а так же (что наиболее уместно для моих целей) соответствие свертка-умножение, т.е., $\hat (f\star g)=\hat f\cdot\hat g$.
Теперь возникает вопрос: как определить Фурье преобразование для тензорной функции $f$, как определить свертку двух таких функции, чтобы восстановить прежние правила. Ответ может быть элементарным, или может быть подробно изложен в литературе мне неизвестной. Просьба - подсказать монографию или доступную по сети статью, где такая техника широко используется.
Большое спасибо заранее. Прошу прощение у знатоков, если детали моего изложения окажутся общеизвестными и таким образом - излишними.


Заметка. В спектральной теории обобщенных Фурье преобразований на оснащенных гильбертовых пространствах Гельфанда формулы справедливы для любых полей, в том числе и сечений в расслоениях. Для скалярных полей связь между двумя теориями Фурье дается следующим фатком: матричные элементы унитарного оператора $\hat f$ в гармоническом определении являются собственными функциями самосопряженного оператора Казимира для левого регулярного представления. Искомое определение гармонического Фурье преобразования тензорного поля должно схожим образом быть в тесном соответствии со своим спектральным аналогом.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Мм... да... Задавил интеллектом.

[type2b]

Если Вам достаточно тензоров, т.е. степеней касательного/кокасательного расслоения, то можно воспользоваться тем, что для группы эти расслоения тривиальны, поэтому задача сводится опять к скалярам.

[Zhirayr]

Уважаемые Bulinator и type2b. Спасибо за ответы. На самом деле, тензорное расслоение тривиально на группе Ли, и можно производить Фурье анализ покомпонентно после выбора некоторого базиса, что делается в некоторых работах в том числе и русскоязычных авторов. Однако такое определение Фурье преобразования кажется довольно неестественным. В результате получается $n$ независимых Фурье образов вместо требуемого одного. Их можно потом складывать соответствующим образом чтобы получить искомый образ. Однако именно в этом определении сложения (или внедрения гильбертового произведения) и суть проблемы. Например, как определить свертку двух тензоров? Покомпонентно? Нет, так как такая свертка не сохранит известные свойства скалярной свертки. Далее, абстрактно-гармоническое Фурье преобразование основано на левом регулярном представлении, операторы которого действуют на скаляры и тем самым сами являются скалярами. А операторы действующие на тензоры ранга (m,n) имеют также тензорные индексы ранга (m+n,m+n), и с первого взгляда не ясно как сформировать их скалярное произведение с тензорами (m,n). Таким образом, лобовое покомпонентное преобразование, кажется, не является жизнеспособным кандидатом на решение. Еще раз спасибо всем, кто не прошел мимо и попытался помочь.

[type2b]

Наверное, Вам с этим вопросом быстрее помогут на mathoverflow.