Calculations by picture

[ins-]

T is the middle of the side AB of the convex quadrilateral ABCD. The circle k through C, D and T is tangent to AB. K and L are the intersection points of AD and BC respectively with k. M and N are the intersection points of AC and BD respectively with KL. P and Q are the intersection points of DM and CN respectively with the segment AB. Prove that AP=BQ.

[nnosipov]

Если в этой задаче разрешено вычислять, то это не задача, а упражнение по программированию, причём довольно банальное. Интересным здесь может быть только чисто геометрическое доказательство.

[ins-]

I tried to solve the problem with elementary methods but it seems to be not very easy for not experienced geometer. Can anyone post a solution?

[ins-]

It is a problem posted here long time ago but not solved. Is it so hard?!

[ins-]

I solved the problem with elementary geometric approaches. A friend of mine did it too in different way. Thank you for your attention.

[ins-]

I made a mistake with the solution

[ins-]

[Ilya Nek]

Эта задача допускает обобщения:
AB не касается окружности, а пересекает в точках T1, T2 и T - середина T1T2, T - середина AB .
План решения:
1. Пусть AB пересекает CD в точке X и KL в точке Y. Тогда TX=TY.
2. Теорема Менелая к треугольнику AEB(E - точка пересечения диагоналей ABCD) и прямым DM, CN, MN, CD. Из первых двух выразим отношение отношений AP\PB и BQ\QA, применим третью (т. Менелая) и , воспользовавшись пунктом 1 и четвертой, получим, что отношение (AP\PB)\(BQ\QA)=1.

[ins-]

Thank you for the valuable idea. I though in the same direction but with no sensible result.

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 3#p2435123

You can see a solution at the link above. The problem is inspired by a problem from a Sharygin's book.

Why does TX=TY? Can you describe your idea in more details?

[Ilya Nek]

Спасибо за ссылку на artofproblemsolving. Моё решение содержит ту же основную идею, что и решение vittasko, но доказательство более элементарно. А вот и "more details":
TX=TY:

http://narod.ru/disk/24981325001/130920111337.jpg.html

Про теоремы Менелая:
1. (AE,M)(EB,D)(BA,P)=1
2. (AE,C)(EB,N)(BA,Q)=1
3. (AE,M)(EB,N)(BA,Y)=1
4. (AE,C)(EB,D)(BA,X)=1
1.+2.+3.+4. :(AB,P)/(BA,Q)=(AE,M)(EB,D)/(EA,C)(BE,N)=(AE,M)(EB,N)(AE,C)(EB,D)=(AB,Y)(AB,X)=1 (последнее из TX=TY).

[ins-]

Thank you for the solution I can say a single word about it - "amazing". Some of my friends saw it and also like it. Well done. I also thought about similar solution but I wasn't able to see the symmetry.

[Ilya Nek]

Спасибо за столь лесный отзыв о решении и за интересную задачу!