Поменять порядок интегрирования (Демидович, 3944)

[Elarium]

Вообщем в интеграле нужно перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке. Это задание из Демидовича, номер 3944.

У нас есть следующий интеграл:

$\int_{\Omega} f(x,y) dx\,dy$,
где $\Omega = \{0 \leq x \leq 1 ; 1-x \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \}$

Область интегрирования у нас представляет собой четверть окружности радиуса 1, ограниченную снизу прямой $y=1-x$.

Перейдем к полярным координатам. В первом случае все легко, когда мы в начале интегрируем по $dr$, а потом по $d \phi$. Мы просто делаем замену:

$y=r\sin(\phi)$
$x=r\cos(\phi)$

А как нам найти пределы интегрирования, когда мы вначале интегрируем по $d \phi$, а уже потом по $dr$? Там в пределах должны получится обратные тригонометрические функции. Помогите разобраться в этом!

zhoraster:

Ставьте обратную косую в названии функции:
$\sin\neq sin$

$\sin\neq sin$

[SpBTimes]

где же там четверть окружности то?
Во втором случае из аналогичных соображений выражаете $\varphi = \varphi(r)$
А r будет изменяться от константы до константы.

[Elarium]

SpBTimes в сообщении #483050 писал(а):

где же там четверть окружности то?
Во втором случае из аналогичных соображений выражаете $\varphi = \varphi(r)$
А r будет изменяться от константы до константы.

четверть это $y=\sqrt{1-x^2}$, так как $x$ меняется от 0 до 1. А прямая ограничивает эту четверть снизу.

-- Ср сен 14, 2011 21:12:13 --

Помогите выразить $\phi$ из выражения $r \sin(\phi) = 1- r \cos(\phi)$

[zhoraster]

Elarium в сообщении #483058 писал(а):

Помогите выразить $\phi$ из выражения $r \sin(\phi) = 1- r \cos(\phi)$

$\sin\phi + \cos \phi = \ldots$

[Elarium]

zhoraster в сообщении #483072 писал(а):

Elarium в сообщении #483058 писал(а):

Помогите выразить $\phi$ из выражения $r \sin(\phi) = 1- r \cos(\phi)$

$\sin\phi + \cos \phi = \ldots$

Равно 1/r! Блин, мне самому смешно, но до меня не доходит что-то. Прихожу к тому, что у меня у арксинуса в аргументе появляется косинус или наоборот.

[SpBTimes]

$\sin(\varphi) + \cos(\varphi) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \sin(\pi/4 + \varphi)$