Проверить оператор на самосопряженность

[Simon666]

Народ! Всем превед!
У меня аналогичная проблема.
Задача такая: проверить самосопряжённость оператора двойного дифференцирования. Я не могу раскрыть пару кошмарных интегралов, чтобы решить эту задачу. А если я не могу её решить - то и большая часть людей в моей группе не сможет решить.

Подскажите, плиз!

[Dan B-Yallay]

Simon666 в сообщении #481901 писал(а):

Народ! Всем превед!
.....
Подскажите, плиз!

А что подсказывать, если Вы пространство на котором оператор действует - не определили?

[Simon666]

Пространство обыкновенное, Евклидовое. Задача - по квантовой механике, если это о чём нибудь говорит.

[Dan B-Yallay]

Simon666 в сообщении #482003 писал(а):

Пространство обыкновенное, Евклидовое. Задача - по квантовой механике, если это о чём нибудь говорит.

Ни о чем не говорит. Сначала покажите, как определяется оператор двойного дифференцирования на пространстве "обыкновенном Евклидовом". Или хотя бы обьясните как считать вторую производную от вектора $(1, \sqrt 2, 3.14)$, а там поглядим.

[ewert]

Simon666 в сообщении #482003 писал(а):

Пространство обыкновенное, Евклидовое.

Во-первых, оно вовсе не "Евклидовое" (ибо помимо всего прочего, даже и евклидово -- оно как-то обычно конечномерно). А во-вторых, для дифференциальных операторов положено чётко определять области определения функций, на которые они действуют.

"Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустою забавою." $\copyright$ все знают

[Simon666]

от нашей группы ничего заумного не требуется

оператор, сопряжённый оператор, и все функции определяются от плюс бесконечности до минус бесконечости, причём по условию функции на таких пределах равны нулю (это допущение делает оператор обычного дифференцирования самосопряжённым, с ним мы уже решали задачу)

вот так примерно выглядит задача:

Оператор L: $d^2/dx^2$
Оператор L(*) - сопряжён с оператором L

f - функция, g(*) - функция, сопряжённая функции g

если оператор L - самосопряжённый, то следующее выражение должно равняться нулю:

$\int(g(*)\cdot(L\cdot f))dx-\int(f\cdot(L(*)\cdot g(*)))dx$

Вот мне и надо раскрыть эти два интеграла, чтобы знать, равно это выражение нулю или нет

[ewert]

Simon666 в сообщении #482180 писал(а):

Оператор L(*) - сопряжён с оператором L

Что буквально означают эти слова "в вашей группе"?

В любом случае так писать не положено, для этой цели есть галочка: $L^*$ (а для функции -- разумнее даже не звёздочка, а чёрточка: $\bar{g}$, хотя $g^*$ некоторые тоже любят). И в любом случае после придания Вашей формулировке какого угодно точного смысла всё сведётся просто к двукратному интегрированию по частям. (Правда, условия на функции нуждаются в усилении -- просто стремления к нулю на бесконечностях, формально говоря, недостаточно; ну да бог с ними, с вашими преподавателями.)

Simon666 в сообщении #482180 писал(а):

это допущение делает оператор обычного дифференцирования самосопряжённым

Ни в коем разе -- оно делает его антисимметричным.

[Simon666]

про антисимметричность ничего не знаю. мы раскрыли интеграл с оператором простого дифференцирования - и всё сошлось благодаря допущению

но это не важно

важно то, что в случае двойного дифференцирования я не могу раскрыть интеграл.

Цитата:

Что буквально означают эти слова "в вашей группе"?

имеются ввиду одногруппники, с которыми я учусь в универе

[Dan B-Yallay]

Приведите здесь ваши попытки решения с формулами и укажите конкретно :что именно не получается.

[Simon666]

$\int(g^*\cdot(L\cdot f))dx-\int(f\cdot(L^*\cdot g^*))dx$

Далее я делаю подстановку L$$\int(g^*\cdot(d^2 f/dx^2))dx-\int(f\cdot(d^2 g^* /dx^2))dx$$ Затем я сокращаю dx:$$\int(g^*\cdot(df/dx))df-\int(f\cdot(dg^* /dx))dg^*$$ На таком моменте я остановился

[Dan B-Yallay]

Все ясно.
Вам ewert намекнул про "дважды по частям" а Вы его почему-то мимо ушей пропустили. И напрасно:

$$\begin{align}\int\limits_{-\infty}^\infty g^*(x) \dfrac{d^2}{dx^2}f(x) \ dx&=\int\limits_{-\infty}^\infty g^* f'' \ dx = \Big|_{u=g^*}^{dv=f''dx}\Big|=\ldots ? \end{align}$$

Заполните многоточие, а затем еще раз по частям. И не забудьте про условия на бесконечности, которые, кстати, надо усилить. Ну Вам об этом уже тоже сказали.

[Simon666]

Спасибо, сейчас попробую что-нить сделать